série de Bertrand
Les séries de Bertrand sont des séries à termes positifs dont le terme général est de la forme 1 / (nᵅ (ln n)ᵝ), avec α et β deux réels. Leur comportement est régi par le théorème de Bertrand : une telle série converge si et seulement si α > 1, ou si α = 1 et β > 1. Dans tous les autres cas (α < 1, ou α = 1 et β ≤ 1), la série diverge. Ces séries permettent de traiter des cas limites que le critère de comparaison avec les séries de Riemann ne suffit pas à trancher, notamment lorsque α = 1.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Énoncer le critère complet selon les valeurs de α et β.
- Appliquer le critère au cas frontière α = 1 et β = 2.
- Contrôler cet exemple par une intégrale impropre.
- Distinguer une série de Bertrand d’une série de Riemann et d’une série géométrique.
- Éviter les erreurs aux seuils α = 1 et β = 1.
En clair
Imaginez que l’on additionne une infinité de parts de plus en plus petites. Le facteur nα impose leur décroissance principale ; le facteur (ln n)β affine cette décroissance. Le plus souvent, α décide seul. Mais lorsque α vaut exactement 1, la puissance du logarithme devient l’arbitre : la somme converge si β est strictement supérieur à 1 et diverge sinon. Ainsi, pour α = 1 et β = 2, les parts finissent par former une somme finie.
Définition
Une série de Bertrand est une série numérique à termes positifs, prise ici à partir d’un entier n ≥ 2. L’indice n repère le terme, α et β sont deux nombres réels, et ln n désigne le logarithme népérien de n. Son terme général un et la série associée s’écrivent :
Le critère de Bertrand donne une classification complète. La série converge lorsque α > 1, quelle que soit la valeur de β. Elle converge aussi dans le cas frontière α = 1 si β > 1. Elle diverge lorsque α < 1, ainsi que lorsque α = 1 et β ≤ 1. Quand β = 0, le facteur logarithmique vaut 1 : on retrouve une série de Riemann. L’intérêt propre de la famille apparaît surtout pour α = 1, car le logarithme départage alors des séries que la seule puissance de n ne distingue pas.
De quoi c'est fait
Cinq éléments organisent la série. L’indice entier n, pris à partir de 2, ordonne les termes. La puissance nα règle leur décroissance principale. Le logarithme ln n croît beaucoup plus lentement que n, tandis que l’exposant β renforce ou atténue son effet. Enfin, le symbole de somme additionne tous les termes jusqu’à l’infini.
Les deux exposants n’agissent donc pas au même niveau. Tant que α est différent de 1, sa position par rapport à 1 suffit à décider. C’est seulement à l’égalité α = 1 que β devient décisif, par sa propre position par rapport à 1. Ces données déterminent le terme un et suffisent à classer la série comme convergente ou divergente ; la façon de tracer ses termes ne fait pas partie de sa définition.
Un exemple, pas à pas
Étudions la série dont les données sont α = 1, β = 2 et n ≥ 2. Son terme général est donc un = 1/[n(ln n)2]. La puissance de n est exactement au seuil critique : il faut regarder β.
1. On relève α = 1. Le cas ne peut pas être tranché comme α > 1 ou α < 1.
2. On relève ensuite β = 2. Comme 2 > 1, le théorème de Bertrand annonce la convergence.
3. Un contrôle par l’intégrale confirme ce verdict. Pour x ≥ 2, on intègre la fonction positive 1/[x(ln x)2] :
4. L’intégrale est finie ; le critère intégral donne le même résultat : la série converge. Le contrôle est refaisable en dérivant −1/ln x, dont la dérivée vaut bien 1/[x(ln x)2]. La carte des paramètres matérialise aussi ce verdict : le point (1, 2) appartient à la frontière convergente.
En pratique
Pour décider de la convergence, commencez par identifier l’exposant α de n. S’il est strictement supérieur à 1, la série converge ; s’il est strictement inférieur à 1, elle diverge. Le logarithme n’a alors pas à départager le cas.
Si α = 1, relevez l’exposant β du logarithme. Préférez alors le critère de Bertrand à une comparaison limitée à la série harmonique : β > 1 donne la convergence, tandis que β ≤ 1 donne la divergence.
Pour vérifier un calcul comme α = 1 et β = 2, le critère intégral offre une seconde voie lorsque la fonction correspondante est positive et décroissante. Il confirme ici la convergence sans fournir pour autant la somme exacte de la série.
À ne pas confondre
Série de Riemann. Son terme est 1/nα, sans facteur logarithmique effectif. Elle correspond au cas β = 0 d’une série de Bertrand. À α = 1, la série de Riemann est harmonique et diverge, alors que la série de Bertrand choisie ici avec β = 2 converge.
Série géométrique. Une série géométrique se reconnaît à un quotient constant entre deux termes successifs. Pour une série de Bertrand, ce quotient dépend de n et tend vers 1. Le test du quotient ne tranche donc généralement pas ; les seuils sur α et β sont le bon critère.
Limites et pièges
Commencer à n = 1. L’expression fait intervenir ln 1 = 0 et peut ne pas être définie. On commence donc à n = 2, ou à tout entier assez grand. Retirer ou ajouter un nombre fini de termes ne change pas la nature convergente ou divergente.
Inclure le seuil β = 1. Pour α = 1, la convergence exige β > 1, et non β ≥ 1. Le cas un = 1/[n ln n] diverge : l’égalité appartient au côté divergent.
Laisser β décider quand α > 1. Même un exposant β négatif ne renverse pas le verdict : dès que α > 1, la série converge. Il faut appliquer les seuils dans leur ordre, en examinant β seulement lorsque α = 1.
Croire qu’un grand β compense α < 1. Aucune puissance fixe du logarithme ne suffit alors à rétablir la convergence. Le symptôme est un α strictement inférieur à 1 ; le théorème classe directement la série comme divergente.
Pour aller plus loin
Série de Riemann — Retrouvez le critère fondé sur la seule puissance de n et situez précisément le cas β = 0 dans la famille de Bertrand.
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