Cauchy condition

Observez la suite 1, 1/2, 1/3, 1/4… Au début, ses termes sont bien séparés. Plus on avance, plus deux termes choisis assez loin dans la suite sont proches. La condition de Cauchy traduit exactement ce resserrement : toute marge, même minuscule, finit par contenir l'écart entre n'importe quels termes suffisamment tardifs.

Cette condition permet de rechercher une convergence sans connaître d'abord la limite. Elle ne suffit toutefois que si l'espace où vivent les termes est complet.

Soit une suite dont le terme d'indice n est noté u_n, dans un espace métrique E. La distance entre deux points x et y est notée d(x, y). La suite satisfait la condition de Cauchy lorsque, pour tout nombre positif ε, il existe un rang N à partir duquel toutes les paires de termes sont à une distance inférieure à ε :

Le rang N peut dépendre de ε, mais il doit convenir simultanément à tous les indices m et n qui le dépassent. Toute suite convergente satisfait cette condition dans n'importe quel espace métrique. La réciproque caractérise la complétude : dans un espace métrique complet, toute suite de Cauchy converge vers un point de cet espace. C'est le critère de Cauchy. Dans un autre contexte, celui des équations différentielles ordinaires, une condition de Cauchy est une donnée initiale : la valeur de la fonction, et parfois de certaines dérivées, est prescrite en un point. Sous des hypothèses de régularité appropriées, le théorème de Cauchy-Lipschitz donne alors existence et unicité de la solution.

Considérons la suite réelle u_n = 1/n. Les données sont la marge ε = 0,1, le rang choisi N = 20 et deux indices entiers quelconques m et n strictement supérieurs à 20.

1. Comme m > 20, on a 1/m < 0,05.
2. De même, 1/n < 0,05.
3. L'inégalité triangulaire donne |1/m − 1/n| ≤ 1/m + 1/n < 0,1.
4. Le même raisonnement fonctionne pour toute marge positive ε en choisissant un entier N strictement supérieur à 2/ε.

Ainsi, la suite satisfait la condition de Cauchy. Un contrôle refaisable avec m = 21 et n = 100 donne |1/21 − 1/100| = 79/2100 ≈ 0,0376, donc un écart bien inférieur à 0,1. Le graphique rend visible que tous les termes d'indice supérieur à 20 sont déjà inférieurs à 0,05.

Pour prouver qu'une suite converge dans un espace complet, on peut majorer directement la distance entre deux termes tardifs. Ce geste est utile lorsque la limite pressentie est inconnue ou difficile à manipuler. Si une limite explicite est déjà disponible, prouver directement la convergence peut être plus court.

Pour réfuter la condition, il faut trouver une marge positive qui reste violée, quels que soient les rangs proposés. Quelques couples de termes proches ne suffisent donc jamais à conclure.

Dans une équation différentielle ordinaire, le même nom invite à un autre geste : repérer le point initial et les valeurs qui y sont prescrites. Le contexte permet de choisir entre le critère portant sur une suite et les données d'un problème initial.

Suite de Cauchy et suite convergente. La première propriété compare les termes entre eux ; la seconde exige une limite dans l'espace considéré. Elles sont équivalentes dans un espace complet, mais pas dans un espace incomplet.

Condition de Cauchy pour une suite et donnée de Cauchy. Dans une suite, on teste des distances entre termes tardifs. Dans une équation différentielle, on prescrit une valeur initiale en un point ; la présence d'une équation et de données initiales tranche.

Condition de Cauchy et conditions de Cauchy-Riemann. Les secondes concernent des relations entre dérivées en analyse complexe. Une expression portant sur deux fonctions de deux variables ne teste donc pas le resserrement d'une suite.

Espace incomplet. Une suite peut être de Cauchy sans posséder de limite dans l'espace choisi. Le symptôme est qu'elle semble viser un point absent de cet espace ; il faut alors passer à un espace complet approprié ou ne pas conclure à la convergence dans l'espace initial.

Termes consécutifs seulement. Vérifier que |u_n+1 − u_n| tend vers 0 ne suffit pas. Pour les sommes partielles de la série 1 + 1/2 + 1/3 + …, cet écart tend vers 0, mais entre les rangs n et 2n l'écart reste au moins égal à 1/2. La marge ε = 0,4 révèle l'échec.

Mauvais ordre des quantificateurs. Le rang N dépend de la marge ε, jamais des indices m et n testés ensuite. Choisir un nouveau rang pour chaque paire rendrait le test sans effet ; il faut fixer ε, puis un seul N valable pour toute la queue.

Début de suite trompeur. Modifier un nombre fini de termes ne change pas la condition de Cauchy. Un grand saut aux premiers rangs n'est donc pas un contre-exemple ; il faut examiner les termes au-delà de tout rang proposé.

La condition prend tout son relief lorsqu'on relie son test interne, la complétude de l'espace et son autre sens dans les problèmes différentiels.

suite de Cauchy — Approfondit l'objet central et la manière dont ses termes se rapprochent entre eux.

théorème de Cauchy-Lipschitz — Relie les données initiales aux questions d'existence et d'unicité d'une solution.

Ma première équation différentielle — Offre un premier contexte pour interpréter une condition initiale dans une équation différentielle.