Clothoid
La clothoïde (ou spirale de Cornu ou spirale d'Euler) est une courbe plane dont la courbure varie linéairement avec la longueur d'arc. Elle est définie paramétriquement à l'aide des intégrales de Fresnel. Cette propriété la rend particulièrement utile en ingénierie routière et ferroviaire, où elle est utilisée comme courbe de raccordement entre une droite et un cercle, permettant une variation progressive de la courbure et donc du rayon de braquage. Elle apparaît aussi en optique dans l'étude de la diffraction.
Contents
What you will learn
- Relier la courbure d'une clothoïde à la distance parcourue le long de la courbe.
- Calculer un raccordement de 5 m vers un cercle de rayon 20 m et contrôler sa courbure finale.
- Distinguer une clothoïde d'un cercle et d'une spirale reconnue seulement par son apparence.
- Identifier les rôles de la courbure signée, de l'abscisse curviligne et des conditions géométriques du raccordement.
In plain terms
Sur une route, passer brusquement d'une ligne droite à un arc de cercle imposerait un changement instantané de virage. Une clothoïde ménage une transition : au début, elle est presque droite, puis elle se courbe de plus en plus à mesure que l'on avance.
Sa particularité ne concerne pas l'écartement entre ses tours, mais la courbure. Pour chaque mètre parcouru le long de la courbe, celle-ci augmente de la même quantité. Le rayon de courbure diminue donc progressivement jusqu'à celui du cercle à rejoindre.
Definition
Une clothoïde est une courbe plane paramétrée par son abscisse curviligne, c'est-à-dire par la longueur s mesurée le long de la courbe depuis une origine choisie. Sa courbure signée κ dépend linéairement de cette longueur. Dans la forme normalisée qui part d'une droite, le coefficient constant a donne la variation de courbure par unité de longueur : . Plus généralement, une origine différente conduit à une relation affine entre κ et s.
L'angle θ(s) de la tangente s'obtient en intégrant la courbure. Si θ0 désigne l'angle initial, alors . Les coordonnées de la courbe s'obtiennent ensuite en intégrant le cosinus et le sinus de cet angle : . Après normalisation, ces expressions font intervenir les intégrales de Fresnel.
Les noms spirale de Cornu et spirale d'Euler désignent cette même courbe. Lorsqu'elle raccorde une droite à un cercle, sa courbure part de 0 et atteint celle du cercle, égale à l'inverse de son rayon. La variation est progressive tout le long du raccordement, ce qui explique son emploi sur les tracés routiers et ferroviaires.
A step-by-step example
Construisons un raccordement de 5 m entre une droite et un cercle de rayon 20 m.
Données :
La longueur du raccordement est L = 5 m.
La courbure initiale est nulle.
Le rayon final est R = 20 m.
La loi cherchée est κ(s) = as, où s est la distance parcourue depuis la droite.
Données :
La longueur du raccordement est L = 5 m.
La courbure initiale est nulle.
Le rayon final est R = 20 m.
La loi cherchée est κ(s) = as, où s est la distance parcourue depuis la droite.
1. La courbure du cercle cible est l'inverse de son rayon : .
2. Le coefficient de variation vaut . La courbure augmente donc de 0,01 m−1 par mètre parcouru.
3. La loi du raccordement est , avec s exprimé en mètres. À mi-parcours, pour s = 2,5 m, la courbure vaut 0,025 m−1, soit un rayon de courbure de 40 m.
4. Le changement total de direction est l'aire sous la courbe κ(s) : , soit environ 7,16°.
Le contrôle final donne κ(5) = 0,05 m−1, puis 1/κ(5) = 20 m : la clothoïde atteint bien la courbure du cercle annoncé. Le graphique rend visible cette croissance régulière depuis la droite.
In practice
Sur une route, le tracé emploie une clothoïde lorsque le rayon doit passer progressivement de l'infini, sur la droite, à celui d'un virage circulaire. Un arc de cercle seul convient lorsque la courbure peut rester constante.
Sur une voie ferrée, le même raccordement évite d'imposer d'un seul coup la courbure du virage. Le concepteur fixe la longueur disponible et le rayon cible, puis en déduit la variation de courbure comme dans l'exemple.
En optique, les intégrales de Fresnel associées à la clothoïde interviennent dans l'étude de la diffraction. Ici, la courbe sert à représenter les valeurs de ces intégrales ; elle ne décrit pas nécessairement la trajectoire géométrique d'un rayon lumineux.
Not to be confused with
Clothoïde et cercle. Un cercle a une courbure constante, égale à l'inverse de son rayon. Une clothoïde a une courbure qui varie linéairement avec la longueur parcourue. Dans l'exemple, les deux courbures coïncident seulement à l'extrémité du raccordement.
Clothoïde et spirale quelconque. Une forme qui s'enroule ne suffit pas à reconnaître une clothoïde. Le critère décisif est la relation linéaire entre courbure et abscisse curviligne, et non l'apparence globale du tracé.
Limits and pitfalls
Variation nulle. Si le coefficient a vaut 0, la courbure ne varie plus. Une courbure nulle donne une droite ; une courbure constante non nulle donne un cercle. Ce cas dégénéré ne réalise donc pas un raccordement progressif.
Courbure signée. Le signe de κ dépend du côté vers lequel la courbe tourne. Changer le signe de a produit la clothoïde symétrique, tournée de l'autre côté. Pour obtenir une longueur de rayon positive, il faut employer 1/|κ| lorsque κ n'est pas nul.
Mauvaise distance. La variable s mesure la longueur suivie sur la courbe, et non une distance horizontale lue sur un plan. Remplacer s par une coordonnée fausse la loi de courbure ; il faut calculer ou mesurer l'abscisse curviligne.
Raccordement incomplet. Atteindre 0,05 m−1 au bout de 5 m garantit le rayon final de 20 m, mais ne suffit pas à rejoindre n'importe quel cercle déjà placé. La position et la direction initiales doivent aussi être choisies pour assurer le raccordement géométrique.
Further reading
abscisse curviligne précise la distance s mesurée le long de la courbe, variable indispensable à la loi de la clothoïde.
courbure d'une courbe plane approfondit la grandeur κ dont la variation linéaire caractérise la clothoïde.
Rayon de courbure relie la courbure locale au rayon utilisé pour dimensionner le raccordement vers un cercle.
spirale replace la clothoïde parmi les courbes qui s'enroulent et aide à distinguer apparence et propriété de courbure.
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