curvature of a plane curve

Imaginez une voiture suivant une route dessinée sur une carte. Sur une portion presque droite, le volant tourne peu ; dans un virage serré, il tourne davantage. La courbure traduit cette différence en chaque point de la trajectoire.

On peut aussi poser mentalement un cercle contre la courbe. Plus le cercle qui l'épouse localement est petit, plus la courbure est grande. Une droite correspond au cas limite d'un cercle de rayon infini et possède une courbure nulle.

La courbure mesure la vitesse à laquelle la direction de la tangente change quand on avance le long d'une courbe plane régulière. Si α est le petit angle entre deux tangentes et si Δs est la longueur d'arc qui les sépare, la courbure non signée au point considéré est la limite suivante, lorsqu'elle existe : $\kappa ={\lim }_{\mathrm{\Delta }s\to 0}\mid \frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{\mathrm{\Delta }s}\mid \backslash kappa=\backslash lim\_\{\backslash Delta\; s\backslash to\; 0\}\backslash left|\backslash frac\{\backslash Delta\backslash alpha\}\{\backslash Delta\; s\}\backslash right|$. Son unité est l'inverse de celle des longueurs. Le rayon de courbure R vérifie alors $R=1\mathrm{/}\kappa R=1/\backslash kappa$ lorsque κ est non nulle.

Pour le graphe d'une fonction deux fois dérivable y = f(x), en un point où la courbe est régulière, les dérivées première et seconde de f donnent : $\kappa (x)=\frac{\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }}{{(1+f^{\mathrm{\prime }}(x{)}^2)}^{3\mathrm{/}2}},R(x)=\frac{{(1+f^{\mathrm{\prime }}(x{)}^2)}^{3\mathrm{/}2}}{\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }}\backslash kappa(x)=\backslash frac\{|f\text{'}\text{'}(x)|\}\{\backslash left(1+f\text{'}(x)^2\backslash right)^\{3/2\}\},\backslash qquad\; R(x)=\backslash frac\{\backslash left(1+f\text{'}(x)^2\backslash right)^\{3/2\}\}\{|f\text{'}\text{'}(x)|\}$. Si f''(x) = 0, cette formule donne κ = 0 et le rayon est infini plutôt qu'un nombre réel fini.

Lorsque κ est non nulle, le cercle tangent qui a le meilleur contact local avec la courbe est le cercle osculateur. Son centre est le centre de courbure. Quand le point parcourt la courbe, l'ensemble de ces centres forme la développée. Un sommet, au sens de la géométrie différentielle, est un point où la courbure atteint un extremum local, qui peut être un maximum ou un minimum. Une courbure signée peut en plus indiquer le côté vers lequel la courbe tourne ; son signe dépend de l'orientation et de la convention choisies.

Sur le tracé d'une route, le profil d'une pièce ou le graphe d'une fonction, la courbure apparaît là où la direction change. Quatre indices se voient sans calcul : une tangente qui pivote, un virage plus ou moins serré, un côté concave et un cercle qui semble épouser localement le tracé.

Le dessin seul ne donne toutefois pas une valeur fiable : un changement d'échelle peut faire paraître la même courbe plus plate. La courbure porte une information locale et métrique, liée aux longueurs du repère, tandis que le cercle osculateur en matérialise le rayon au point étudié.

La grandeur à lire est κ, la courbure locale ; son inverse R est le rayon de courbure. Pour le graphe y = f(x), procédez dans le même repère et avec la même unité sur les deux axes.

1. Fixez l'abscisse du point et calculez f'(x), qui donne la pente de la tangente.
2. Calculez f''(x), qui mesure la variation de cette pente.
3. Substituez ces deux valeurs dans la formule de κ, puis prenez l'inverse si κ n'est pas nulle.
4. Contrôlez le résultat : un rayon plus petit doit correspondre à un virage localement plus serré.

L'œil peut croire qu'une courbe est très courbée parce que le graphique étire l'axe vertical. Ce mécanisme déforme les angles et les longueurs. Le bon réflexe consiste à vérifier l'échelle des axes avant toute lecture géométrique, puis à calculer dans un repère orthonormé.

Étudions la parabole y = x² au point P d'abscisse 1. Les données sont f(x) = x², x = 1, f'(x) = 2x et f''(x) = 2. Les deux axes utilisent la même unité.

1. Le point est P(1 ; 1) et la pente de sa tangente vaut f'(1) = 2. La tangente a donc pour équation y = 2x − 1.

2. Substituons f'(1) = 2 et f''(1) = 2 dans la formule : $\kappa (1)=\frac{2}{(1+2^2{)}^{3\mathrm{/}2}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}\approx \mathrm{0,179}\backslash kappa(1)=\backslash frac\{2\}\{(1+2^2)^\{3/2\}\}=\backslash frac\{2\}\{5\backslash sqrt5\}\backslash approx0\{,\}179$ par unité de longueur.

3. Le rayon vaut $R=\frac{1}{\kappa }=\frac{5\sqrt{5}}{2}\approx \mathrm{5,590}R=\backslash frac\{1\}\{\backslash kappa\}=\backslash frac\{5\backslash sqrt5\}\{2\}\backslash approx5\{,\}590$ unités de longueur. Du côté concave, le centre de courbure est C(−4 ; 7/2). La figure montre le contact local entre la parabole et ce cercle.

4. Contrôlons le rayon avec les coordonnées : CP² = (1 + 4)² + (1 − 7/2)² = 25 + 25/4 = 125/4. Ainsi, CP = 5√5/2, exactement comme dans le calcul précédent.

Pour comparer deux portions d'un même tracé, comparez leurs courbures plutôt que leur apparence à l'écran. Si les axes n'ont pas la même échelle, rétablissez d'abord un repère orthonormé ; sinon la comparaison visuelle est trompeuse.

Pour approcher localement une courbe par une forme simple, utilisez la tangente si seul le premier ordre compte. Préférez le cercle osculateur lorsque la variation de direction doit aussi être reproduite : son rayon est précisément le rayon de courbure.

Pour une courbe donnée par y = f(x), la formule en f' et f'' est directe tant que ce graphe convient près du point. Si la tangente est verticale ou si la courbe est paramétrée autrement, utilisez une formule paramétrique adaptée au lieu de forcer cette représentation.

Courbure et pente. La pente décrit l'inclinaison de la tangente ; la courbure décrit la variation de cette inclinaison le long de la courbe. La droite y = 2x a une pente égale à 2, mais une courbure nulle partout.

Courbure et rayon de courbure. Ces grandeurs sont inverses lorsque la courbure est non nulle. Dans l'exemple, κ ≈ 0,179 par unité et R ≈ 5,590 unités : une grande courbure correspond donc à un petit rayon, et non à un grand.

Cercle tangent et cercle osculateur. De nombreux cercles peuvent être tangents à une courbe en un point. Le cercle osculateur est celui qui partage aussi sa courbure lorsque celle-ci est non nulle ; au point P de la parabole, son centre est C(−4 ; 7/2).

Courbure nulle. Lorsque f''(x) = 0 dans la formule d'un graphe régulier, κ = 0 et R doit être interprété comme infini. Il n'existe alors pas de cercle osculateur de rayon fini ; la tangente fournit l'approximation locale pertinente à cet ordre.

Point d'inflexion. Un point d'inflexion régulier suffisamment lisse présente souvent une courbure non signée nulle, mais l'annulation de la courbure ne suffit pas à prouver une inflexion. Pour y = x⁴ en 0, κ = 0 sans changement de concavité ; il faut contrôler le signe de la concavité de part et d'autre.

Point non régulier. À une pointe ou à une véritable singularité, la tangente ou la courbure classique peut ne pas être définie. L'annulation de la dérivée d'un paramétrage ne suffit toutefois pas à conclure : elle peut venir d'un paramétrage dégénéré d'une courbe régulière. Il faut examiner la courbe et ses branches, puis chercher si possible un paramétrage régulier.

Signe de la courbure. La valeur non signée est toujours positive ou nulle. Une valeur signée dépend du sens de parcours et du choix de la normale : inverser l'orientation peut inverser le signe sans modifier le cercle osculateur ni le rayon. Il faut annoncer la convention avant de comparer des signes.

Cercle osculateur — Approfondir la construction du cercle qui partage tangente et courbure avec la courbe au point de contact.

Développée — Suivre le lieu des centres de courbure et relier ses singularités aux variations de la courbure.

point d'inflexion — Examiner le changement de concavité et comprendre pourquoi une courbure nulle n'est pas, seule, un critère suffisant.

Observer des courbes avec des loupes — Voir comment les approximations locales révèlent progressivement la tangente puis la courbure d'un tracé.