osculating conic

Imaginez que l'on pose une ellipse, une parabole ou une hyperbole contre une courbe, au point M. La conique ne doit pas seulement toucher la courbe : elle doit aussi y partir dans la même direction et tourner de la même façon.

Vue de très près, la conique épouse donc mieux la courbe qu'une simple droite tangente. Elle en donne un modèle local, comme le cercle osculateur, mais avec davantage de formes possibles. En s'éloignant de M, les deux tracés peuvent toutefois se séparer.

Soit M un point régulier d'une courbe plane suffisamment dérivable. Une conique osculatrice passe par M et possède en ce point la même tangente et la même courbure signée que la courbe. Dans un repère local dont M est l'origine et dont l'axe horizontal est la tangente, les deux tracés ont le même terme quadratique. Si le nombre a désigne son coefficient, ce contact s'écrit $y_{courbe}=a{x}^2+O(x^3),y_{conique}=a{x}^2+O(x^3)y\_\{courbe\}=a\; x^2+O(x^3),\backslash quad\; y\_\{conique\}=a\; x^2+O(x^3)$. Lorsque la courbure n'est pas nulle, l'égalité de sa valeur absolue équivaut à celle du rayon de courbure.

La convention sur l'ordre du contact doit être précisée. Avec les seules conditions de point, de tangente et de courbure, une conique locale peut s'écrire $y+A{x}^2+Bxy+C{y}^2=0y+A\; x^2+Bxy+Cy^2=0$ après normalisation. L'accord du terme quadratique fixe A, mais laisse généralement B et C libres : il subsiste alors deux paramètres. Si l'on impose aussi l'accord du terme cubique, il reste en général une famille à un paramètre. Une condition supplémentaire, comme le type de conique ou le passage par un autre point, peut ensuite sélectionner un membre.

Le cercle osculateur est le cas particulier où la conique retenue est un cercle. Pour une courbure non nulle et une normale orientée, son centre se trouve sur cette normale à une distance égale au rayon de courbure. Une conique osculatrice plus générale peut mieux reproduire des termes locaux supplémentaires, mais elle n'est pas automatiquement unique.

On étudie, au point M de coordonnées (0 ; 0), la courbe représentative de la fonction f définie par $f(x)=x^2+x^{3}f(x)=x^2+x^3$. On compare cette courbe à la conique C₀ d'équation $y-x^2-xy=0y-x^2-xy=0$. Les données sont donc le point M, la fonction f et l'équation de C₀.

1. Pour la courbe, on calcule f(0) = 0, f′(0) = 0 et f″(0) = 2. Elle passe par M, sa tangente y est nulle et sa courbure signée vaut 2 dans ce repère. Son rayon de courbure vaut donc 1/2.

2. Près de l'origine, l'équation de C₀ se résout sous la forme $y=\frac{x^2}{1-x}y=\backslash frac\{x^2\}\{1-x\}$. Sa valeur et ses deux premières dérivées en 0 sont également 0, 0 et 2.

3. Le développement local de la conique est $\frac{x^2}{1-x}=x^2+x^3+x^4+O(x^5)\backslash frac\{x^2\}\{1-x\}=x^2+x^3+x^4+O(x^5)$. Il coïncide même avec celui de f jusqu'au terme cubique. La conique appartient donc à la famille obtenue avec cette condition renforcée.

4. Le contrôle peut être refait en x = 0,2 : la courbe donne exactement 0,048 et la conique 0,05. Leur écart, égal à 0,002, confirme qu'elles se séparent hors de M malgré leur accord local.

Le tracé comparatif rend visible la tangente commune en M et la séparation progressive des deux courbes lorsqu'on s'éloigne de l'origine.

Pour décrire une courbe près d'un point, la droite tangente ne donne que sa direction. Une conique osculatrice ajoute la manière dont elle se courbe ; on la préfère donc lorsque cette inflexion locale compte dans le dessin ou le calcul.

Le choix commence par le point et la tangente, puis par la courbure. Si plusieurs coniques satisfont ces données, on ajoute un critère observable : type souhaité, accord d'un terme supplémentaire ou passage par un point imposé.

Un tracé superposé aide à contrôler le résultat, mais il ne remplace pas le calcul. Le bon test compare les dérivées au point M ; quelques pixels confondus à l'écran ne prouvent ni l'égalité des tangentes ni celle des courbures.

Droite tangente. Elle partage le point et la direction tangente, mais sa courbure est nulle. Au sommet d'une parabole, la tangente reste droite tandis qu'une conique osculatrice reproduit la courbure du sommet.

Cercle osculateur. Il impose que la conique soit un cercle. Si la conique choisie est une parabole ou une ellipse, elle peut avoir la même tangente et le même rayon de courbure en M sans être le cercle osculateur.

Conique d'ajustement. Elle est choisie pour approcher un ensemble de points sur une zone entière. Une conique osculatrice est déterminée par des conditions locales en M ; un bon ajustement global peut manquer la tangente exacte en ce point.

Ordre de contact ambigu. Selon la convention, « ordre deux » peut désigner l'accord jusqu'au terme quadratique ou un nombre d'intersections comptées avec multiplicité. Il faut annoncer la convention et comparer explicitement les développements locaux.

Non-unicité. Le point, la tangente et la courbure ne sélectionnent généralement pas une seule conique. Dans la forme locale $y+A{x}^2+Bxy+C{y}^2=0y+A\; x^2+Bxy+Cy^2=0$, l'accord quadratique fixe A tandis que B et C restent libres. Il faut ajouter une condition avant de parler de « la » conique.

Courbure nulle. Au seuil exact où la courbure vaut 0, le rayon de courbure n'est plus un nombre fini. La formulation par « même rayon » devient inadaptée ; il faut revenir aux dérivées ou au développement local.

Point singulier. Si la courbe n'a pas de tangente régulière unique en M, comme à une pointe, les données nécessaires manquent. On doit d'abord préciser une branche et un paramétrage régulier, ou renoncer à cette notion en ce point.

Conique — Situer ellipses, paraboles et hyperboles dans la famille de courbes parmi lesquelles on cherche une osculatrice.

Rayon de courbure — Relier la courbure locale à la taille du cercle qui épouse la courbe au point étudié.

Cercle osculateur — Approfondir le cas particulier où la conique osculatrice est contrainte à être un cercle.