Discrete uniform distribution
La loi uniforme discrète sur un ensemble fini de n valeurs est la loi de probabilité qui attribue la même probabilité 1/n à chacune de ces valeurs. C'est la loi d'un lancer de dé équilibré à n faces, ou d'un tirage aléatoire uniforme dans un ensemble de n éléments. Son espérance, dans le cas des entiers de 1 à n, est (n+1)/2 et sa variance est (n^2-1)/12. Cette loi est la loi maximale d'entropie parmi les lois discrètes à support fini fixé.
Contents
What you will learn
- Reconnaître une loi uniforme discrète sur un support fini équiprobable.
- Calculer la probabilité d’un sous-ensemble en comptant ses valeurs.
- Retrouver l’espérance et la variance sur le support {1, …, n}.
- Vérifier les formules sur un dé équilibré à six faces.
- Interpréter le rôle du support fixé dans la propriété d’entropie maximale.
In plain terms
Imaginez un dé équilibré à six faces. Avant le lancer, aucune face n’est favorisée : chacune a une chance sur six d’apparaître. La loi uniforme discrète décrit précisément cette égalité des chances entre un nombre fini de résultats. Le même principe vaut lorsqu’on tire au hasard un billet parmi plusieurs billets distincts, à condition que chacun puisse être choisi avec la même probabilité.
Definition
Une loi uniforme discrète répartit toute la probabilité entre un nombre fini de valeurs sans en favoriser aucune. On note n le nombre de valeurs possibles, avec n entier et n ≥ 1. Si X désigne la variable aléatoire et si son support est l’ensemble {x1, …, xn}, alors chaque valeur xi reçoit la probabilité 1/n. La somme des n probabilités vaut donc 1.
Pour le support {1, 2, …, n}, la moyenne théorique, appelée espérance, et la dispersion, appelée variance, sont :
Sur un autre support numérique fini, l’équiprobabilité reste 1/n, mais l’espérance devient la moyenne des valeurs xi et la variance dépend de leurs écarts à cette moyenne. Enfin, à support fini fixé, la loi uniforme est celle qui maximise l’entropie : elle représente la répartition la moins concentrée sur une valeur particulière.
The principle
Soit X une variable aléatoire dont le support contient exactement n valeurs x1, …, xn, avec n ≥ 1. X suit la loi uniforme discrète sur ce support si, pour chaque indice i compris entre 1 et n :
Pour tout sous-ensemble A du support, on additionne une fois 1/n par valeur appartenant à A. Si |A| désigne le nombre de ces valeurs, alors .
When to use it
Le modèle s’applique lorsque la liste des résultats possibles est finie, que chaque résultat élémentaire est distinct et que le mécanisme leur attribue réellement la même probabilité. Il faut donc connaître le support, compter ses n valeurs et pouvoir justifier l’équiprobabilité. On obtient alors 1/n pour chacune d’elles.
Un dé équilibré à six faces satisfait ces conditions : son résultat appartient à {1, 2, 3, 4, 5, 6} et chaque face a une probabilité 1/6. En revanche, si le dé est lesté et que la face 6 apparaît plus souvent, le support reste fini mais l’égalité des probabilités disparaît. Il faut alors employer la loi discrète décrivant les probabilités propres à chaque face, et non une loi uniforme.
A step-by-step example
On lance un dé équilibré à six faces et l’on note X le numéro obtenu. Les données sont le support {1, 2, 3, 4, 5, 6}, son effectif n = 6 et l’équiprobabilité des faces. On veut déterminer la probabilité d’un résultat pair, puis l’espérance et la variance de X.
Étape 1. Chaque valeur reçoit pour tout entier k de 1 à 6.
Étape 2. Les résultats pairs sont 2, 4 et 6. Ils représentent trois valeurs parmi six, donc , soit 50 %.
Étape 3. Avec n = 6, l’espérance vaut . La représentation par six barres égales rappelle que cette moyenne ne correspond pas nécessairement à une face.
Étape 4. La variance vaut , soit environ 2,92.
Le contrôle consiste à additionner les six probabilités : 6 × 1/6 = 1. Pour l’événement pair, 3/6 = 1/2 confirme également le résultat de 50 %.
In practice
Pour simuler un choix parmi n options, on emploie une loi uniforme discrète si chaque option doit avoir exactement la même chance. Si certaines options doivent être privilégiées, il faut utiliser un tirage pondéré.
Dans un jeu avec un dé, le modèle uniforme convient au dé équilibré. Des fréquences durablement très différentes d’une face à l’autre invitent plutôt à examiner un modèle non uniforme, sans conclure sur quelques lancers seulement.
Pour calculer la probabilité d’un groupe de résultats, on compte ses valeurs puis on divise par le nombre total de valeurs équiprobables. Si les issues élémentaires n’ont pas toutes le même poids, cette méthode doit être remplacée par l’addition de leurs probabilités respectives.
Not to be confused with
Loi uniforme discrète et loi uniforme continue. La première porte sur une liste finie de valeurs, chacune de probabilité 1/n. La seconde porte sur un intervalle et attribue une probabilité nulle à chaque valeur isolée. Un dé équilibré relève du discret ; un point choisi uniformément sur un segment relève du continu.
Loi uniforme discrète et loi binomiale. La loi uniforme rend toutes les valeurs de son support équiprobables. La loi binomiale compte les succès dans un nombre fixé d’essais, et ses valeurs ne sont généralement pas équiprobables. Choisir uniformément un entier de 0 à 6 n’équivaut donc pas à compter les succès de six essais.
Équiprobabilité et fréquence observée. L’équiprobabilité appartient au modèle ; les fréquences d’une courte série peuvent différer. Sur six lancers, ne pas voir chaque face une fois ne suffit pas à réfuter la loi uniforme.
Limits and pitfalls
Support réduit à une valeur. Lorsque n = 1, l’unique valeur a une probabilité 1. La loi est encore uniforme, mais elle est dégénérée : si le support est {1}, son espérance vaut 1 et sa variance vaut 0.
Formules liées aux étiquettes. Les expressions (n + 1)/2 et (n2 − 1)/12 valent pour le support {1, …, n}. Avec les six valeurs {10, 20, 30, 40, 50, 60}, les probabilités restent 1/6, mais il faut recalculer moyenne et variance à partir de ces valeurs.
Résultats regroupés. Une loi uniforme sur les valeurs élémentaires ne rend pas forcément équiprobables des catégories qui n’en contiennent pas autant. Avec un dé, « inférieur à 5 » rassemble quatre faces tandis que « au moins 5 » en rassemble deux : leurs probabilités sont 4/6 et 2/6.
Entropie maximale sous support fixé. Le résultat suppose que les n valeurs possibles sont fixées. Changer le support change la comparaison. Pour ce support, l’entropie atteint log(n) avec la loi uniforme ; la base du logarithme fixe seulement l’unité employée.
Further reading
Équiprobabilité — Préciser le principe qui autorise à compter les cas favorables parmi les cas possibles.
Discrète (variable aléatoire) — Situer la loi uniforme parmi les variables dont les valeurs possibles sont séparées.
variance d'une variable aléatoire — Approfondir la mesure de dispersion qui vaut (n² − 1)/12 sur {1, …, n}.
Entropie — Relier l’équiprobabilité à l’entropie maximale sur un support fini fixé.
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