equidistributed sequence

Imaginez que l’on place, l’un après l’autre, les termes d’une suite sur une règle allant de 0 inclus à 1 exclu. Dans une suite équirépartie, chaque morceau de la règle reçoit à long terme une part de points égale à sa longueur. Un intervalle couvrant la moitié de la règle accueille donc une proportion qui se rapproche de 1/2.

Ce partage ne se juge pas sur quelques termes. Il décrit ce qui arrive à la proportion quand le nombre de termes observés augmente sans limite.

Soit une suite de nombres x_n appartenant à l’intervalle [0, 1[. Elle est équirépartie lorsque, pour chaque intervalle [a, b[ contenu dans [0, 1[, la fréquence des indices k parmi les n premiers pour lesquels x_k appartient à [a, b[ tend vers la longueur b − a. En notant card le nombre d’éléments d’un ensemble, cette condition s’écrit :

Pour une suite réelle u_n, l’équirépartition modulo 1 porte sur ses parties fractionnaires, obtenues en retirant à chaque terme sa partie entière. Le critère de Weyl, daté de 1916 dans la définition source, donne une condition équivalente : pour tout entier m non nul, la moyenne des exponentielles exp(2iπm u_k) tend vers 0. Une autre caractérisation dit que, pour toute fonction continue f sur [0, 1], la moyenne des valeurs de f aux parties fractionnaires tend vers l’intégrale de f sur [0, 1].

Quatre éléments organisent la définition. La suite fournit les points x₁, x₂, … dans [0, 1[. L’intervalle test [a, b[ sélectionne une portion de longueur b − a. Le compteur relève, parmi les n premiers termes, ceux qui tombent dans cette portion. Enfin, le passage à la limite compare leur proportion à b − a lorsque n grandit.

Le compteur dépend à la fois de l’intervalle choisi et du nombre n de termes observés. La conclusion dépend ensuite de tous les intervalles [a, b[, pas d’un seul découpage. Pour une suite réelle quelconque, une étape préalable remplace chaque u_n par sa partie fractionnaire ; les mêmes quatre éléments s’appliquent alors dans [0, 1[.

On observe dix termes réels :
u₁ = 0,05 ; u₂ = 1,15 ; u₃ = 2,25 ; u₄ = 3,35 ; u₅ = 4,45 ;
u₆ = 5,55 ; u₇ = 6,65 ; u₈ = 7,75 ; u₉ = 8,85 ; u₁₀ = 9,95.
L’intervalle testé est [0,2 ; 0,7[, de longueur 0,5.

1. On retire la partie entière de chaque terme. Les parties fractionnaires sont 0,05 ; 0,15 ; 0,25 ; 0,35 ; 0,45 ; 0,55 ; 0,65 ; 0,75 ; 0,85 ; 0,95.

2. Les cinq valeurs 0,25 ; 0,35 ; 0,45 ; 0,55 et 0,65 appartiennent à [0,2 ; 0,7[. La figure rend visible ce comptage sur l’intervalle unité.

3. La proportion observée vaut 5/10 = 0,5. Elle coïncide ici avec la longueur 0,7 − 0,2 = 0,5.

Le contrôle consiste à recompter les points rouges et à recalculer les deux différences. Cette égalité sur dix termes et un intervalle ne prouve pas que la suite complète est équirépartie : la définition exige une limite et tous les intervalles.

Pour examiner directement une suite dans [0, 1[, on choisit plusieurs intervalles, puis on suit la proportion de termes qu’ils contiennent quand n augmente. Un seul effectif équilibré ne suffit pas : le geste pertinent consiste à observer la tendance des fréquences.

Pour une suite réelle qui sort de [0, 1[, on commence par remplacer chaque terme par sa partie fractionnaire. L’équirépartition modulo 1 concerne ces valeurs réduites, et non les termes entiers ou réels d’origine pris tels quels.

Lorsque le comptage intervalle par intervalle est peu maniable, le critère de Weyl fournit une voie équivalente par des moyennes exponentielles. Pour étudier les moyennes d’une fonction continue, la caractérisation intégrale fournit une autre lecture équivalente.

Équirépartition dans [0, 1[ et équirépartition modulo 1. Dans le premier cas, les termes x_n sont déjà dans [0, 1[. Dans le second, les termes u_n peuvent être réels quelconques et le test porte sur leurs parties fractionnaires. Ainsi, 2,25 est remplacé par 0,25 avant tout comptage modulo 1.

Répartition équilibrée d’un échantillon fini et suite équirépartie. Dix points peuvent donner exactement cinq occurrences dans un intervalle de longueur 1/2. Ce constat fini ne tranche pas : une suite équirépartie doit satisfaire la convergence prescrite pour tout intervalle lorsque n tend vers l’infini.

Les bords comptent. L’intervalle [a, b[ contient a mais exclut b. Dans l’exemple, 0,25 est compté et 0,75 ne le serait pas ; changer silencieusement cette convention fausse le comptage fini.

Un préfixe régulier n’est pas une limite. L’égalité 5/10 = 0,5 obtenue pour [0,2 ; 0,7[ ne suffit ni pour les autres tailles n ni pour les autres intervalles. Il faut vérifier le comportement lorsque n tend vers l’infini.

Le critère de Weyl exclut m = 0. Pour cet entier, chaque exponentielle vaut 1 et sa moyenne ne peut pas tendre vers 0. La condition porte donc sur chaque entier m non nul.

La caractérisation intégrale a un domaine précis. Elle emploie des fonctions continues sur [0, 1]. Pour une suite réelle modulo 1, on les évalue sur les parties fractionnaires, afin que leurs arguments restent dans cet intervalle.

Le Critère de Weyl approfondit la caractérisation par les moyennes exponentielles.

La Partie fractionnaire détaille la réduction qui ramène une suite réelle dans [0, 1[.

La partie entière précise l’opération soustraite à chaque terme pour étudier l’équirépartition modulo 1.