Weyl criterion
Le critère de Weyl est un résultat fondamental en théorie de l'équidistribution. Il affirme qu'une suite de nombres réels (xn) est équidistribuée modulo 1 si et seulement si, pour tout entier non nul k, la moyenne sur les N premiers termes des exponentielles tend vers zéro quand N tend vers l'infini. Ce critère permet de prouver l'équidistribution de suites comme (nα) pour α irrationnel (théorème de Weyl) et a des applications en théorie des nombres, en théorie ergodique et en cryptographie.
Contents
What you will learn
- Interpréter l'équidistribution modulo 1 à partir des parties fractionnaires.
- Lire l'équivalence entre équidistribution et annulation des moyennes exponentielles.
- Refaire la preuve pour la suite (n√2) grâce à une somme géométrique.
- Reconnaître pourquoi k = 0, un nombre rationnel ou quelques tests finis ne suffisent pas.
In plain terms
Plaçons sur une règle graduée de 0 à 1 les parties fractionnaires de √2, 2√2, 3√2, puis continuons. Les seize premiers points donnent ici quatre points dans chacun des quatre quarts de la règle. Cette répartition finie ne constitue pas une preuve, mais elle suggère ce que signifie « équidistribué » : à long terme, chaque intervalle reçoit une proportion de points égale à sa longueur. Le critère de Weyl remplace ce comptage dans tous les intervalles par un test sur des oscillations complexes.
Definition
Soit une suite de nombres réels dont le terme d'indice n est noté xn. On ne garde de chaque terme que sa partie fractionnaire, donc sa position dans l'intervalle de 0 inclus à 1 exclu. La suite est équidistribuée modulo 1 lorsque, pour tout intervalle compris dans cet intervalle unité, la proportion des positions qui y tombent tend vers la longueur de l'intervalle.
Le critère de Weyl caractérise cette propriété au moyen des fréquences entières. Pour chaque entier non nul k, on forme la moyenne des exponentielles complexes associées aux N premiers termes : . La suite est équidistribuée modulo 1 si et seulement si, pour chaque k fixé différent de zéro, la quantité AN(k) tend vers 0 lorsque N tend vers l'infini.
Les exponentielles jouent le rôle de détecteurs d'un biais périodique. Leur annulation asymptotique signifie qu'aucune fréquence entière non nulle ne reste privilégiée. Le cas xn = nα, avec α irrationnel, satisfait ce test : c'est le théorème de Weyl cité dans la définition de référence.
The principle
Pour une suite réelle (xn), fixons un entier k non nul et notons AN(k) la moyenne des N oscillations correspondantes. Le critère s'énonce ainsi :
L'équivalence va dans les deux sens : l'équidistribution annule toutes ces moyennes, et leur annulation pour chaque fréquence entière non nulle garantit l'équidistribution.
When to use it
Le critère s'applique à une suite de nombres réels, étudiée modulo 1. Il faut pouvoir contrôler la limite des moyennes pour chaque entier k non nul pris séparément. Le nombre de termes N tend vers l'infini ; un grand échantillon fini peut illustrer une répartition, mais ne suffit pas à établir la limite.
L'hypothèse « k non nul » est indispensable, car pour k = 0 chaque exponentielle vaut 1 et sa moyenne vaut toujours 1. Pour la suite xn = nα, l'irrationalité de α est également décisive. Si α = p/q est rationnel, les parties fractionnaires sont périodiques ; en prenant k = q, la moyenne ne tend pas vers 0.
A step-by-step example
On étudie la suite xn = n√2. Les données sont le nombre irrationnel α = √2, un entier k non nul fixé et le nombre N de termes pris dans la moyenne.
1. Posons . Comme k√2 n'est pas un entier, r est différent de 1.
2. La somme des N exponentielles est une somme géométrique : .
3. En divisant par N et en utilisant le fait que la valeur absolue de 1 − rN ne dépasse pas 2, on obtient :
4. Le raisonnement vaut pour tout entier k non nul. Le critère de Weyl conclut donc que la suite (n√2) est équidistribuée modulo 1. Le contrôle refaisable consiste à vérifier que le dénominateur est constant et non nul pour chaque k fixé, tandis que le facteur N croît sans borne.
In practice
En théorie des nombres, on ramène d'abord les termes à leurs parties fractionnaires. Compter directement les passages dans chaque intervalle est possible, mais le critère de Weyl est préférable lorsque les sommes exponentielles se calculent ou se majorent simplement.
En théorie ergodique, une orbite peut être observée modulo 1. Au lieu de contrôler séparément tous les intervalles, on recherche un biais dans ses fréquences entières ; l'absence asymptotique de ce biais donne l'équidistribution.
En cryptographie, le même type de test peut servir à examiner l'uniformité d'une suite. Une moyenne exponentielle qui ne s'annule pas révèle un biais. À l'inverse, réussir le critère d'équidistribution ne suffit pas, à lui seul, à établir la sécurité cryptographique.
Not to be confused with
Équidistribution et densité. Une suite dense passe arbitrairement près de tout point, sans imposer la bonne fréquence de visite. Une suite équidistribuée réserve asymptotiquement à chaque intervalle une proportion égale à sa longueur. Visiter tous les intervalles, mais très inégalement, tranche en faveur de la seule densité.
Critère de Weyl et théorème de Weyl. Le critère est une équivalence qui teste une suite réelle quelconque par ses moyennes exponentielles. Le théorème cité ici est l'application aux suites xn = nα : l'irrationalité de α permet de conclure à leur équidistribution modulo 1.
Limits and pitfalls
Tester quelques fréquences ne suffit pas. Même si les moyennes semblent petites pour k = 1, 2 ou 3, le critère exige la limite pour chaque entier non nul. Il faut une preuve valable pour un k arbitraire, et non une liste finie de calculs.
Le seuil k = 0 est exclu. À cette fréquence, tous les termes exponentiels valent 1. La moyenne reste donc égale à 1 pour toute suite et ne renseigne jamais sur sa répartition.
Une image finie n'est pas une limite. Les seize premiers termes de (n√2) donnent exactement quatre points dans chaque quart de l'intervalle unité, mais cette coïncidence finie ne prouve rien à elle seule. La preuve doit contrôler les moyennes lorsque N tend vers l'infini.
Une valeur rationnelle change le verdict. Si α = p/q, la suite des parties fractionnaires de nα se répète. Le choix k = q produit des exponentielles toutes égales à 1 : le symptôme est une moyenne qui reste à 1, et il faut conclure à l'absence d'équidistribution sur tout l'intervalle.
Further reading
Partie fractionnaire — Pour préciser l'opération qui ramène chaque terme réel dans l'intervalle de 0 inclus à 1 exclu.
analyse harmonique — Pour situer le rôle des fréquences et des exponentielles complexes dans l'étude d'une répartition.
Weyl Hermann — Pour replacer le nom attaché au critère et au théorème utilisés dans cette fiche.
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