Essential range
L'image essentielle d'un opérateur linéaire borné T sur un espace de Hilbert est définie comme la fermeture de l'image T(H). C'est le plus petit sous-espace fermé contenant toutes les images T(x). Plus précisément, l'image essentielle est l'orthogonal du noyau de T* (l'adjoint de T). En analyse spectrale, l'image essentielle d'un opérateur normal est liée à la décomposition spectrale. La notion d'image essentielle est utile pour caractériser la surjectivité approchée des opérateurs.
Contents
What you will learn
- Définir la fermeture de l'image d'un opérateur borné sur un espace de Hilbert.
- Relier cette fermeture au complément orthogonal du noyau de l'adjoint.
- Vérifier sur un opérateur diagonal qu'une image peut être dense sans être surjective.
- Distinguer cette notion de l'image essentielle d'une fonction mesurable.
In plain terms
Imaginez une machine qui transforme des suites de nombres. Certaines suites sortent exactement de la machine ; d'autres peuvent seulement être approchées aussi près qu'on le souhaite par ses sorties. L'image essentielle, au sens retenu ici, rassemble les sorties exactes et toutes leurs limites.
On ferme ainsi les « trous de limite » de l'image ordinaire. Si ce sous-espace fermé remplit tout l'espace d'arrivée, chaque cible est approchable, même lorsque certaines cibles ne sont jamais atteintes exactement.
Definition
Soit H un espace de Hilbert et T un opérateur linéaire borné de H dans lui-même. Dans la convention de cette fiche, l'image essentielle de T est la fermeture de son image ordinaire T(H), c'est-à-dire le plus petit sous-espace fermé qui contient tous les vecteurs T(x), lorsque x parcourt H. La barre supérieure désigne la fermeture pour la norme de H :
L'adjoint de T, noté T*, est l'unique opérateur qui vérifie que le produit scalaire de T(x) avec y est égal au produit scalaire de x avec T*(y). Le noyau de T* rassemble les vecteurs envoyés sur zéro. Le complément orthogonal de ce noyau, noté par l'exposant ⊥, fournit l'identité générale :
Cette égalité vaut pour tout opérateur borné entre espaces de Hilbert, en prenant l'adjoint vers l'espace de départ.
L'image essentielle est tout H exactement lorsque le noyau de T* est réduit au vecteur nul. Cela exprime une surjectivité approchée, aussi appelée densité de l'image, et non nécessairement une surjectivité exacte. Si T est normal, alors T et T* ont le même noyau ; l'image essentielle devient donc le complément orthogonal du noyau de T. Dans la décomposition spectrale, elle est le sous-espace E(ℂ ∖ {0})H, c'est-à-dire le complément du sous-espace spectral associé au singleton {0}.
A step-by-step example
Considérons l'espace ℓ² des suites dont la somme des carrés converge. L'opérateur T divise le terme de rang n par l'entier n. La suite cible y a pour terme 1/n. Pour chaque entier positif N, la suite y(N) conserve les N premiers termes de y et vaut ensuite zéro.
1. La cible appartient à ℓ², car la série des nombres 1/n² converge.
2. Pour obtenir exactement y, un antécédent devrait avoir tous ses termes égaux à 1. Cette suite n'appartient pas à ℓ² ; ainsi, y n'est pas dans l'image T(ℓ²).
3. La suite finie x(N), formée de N termes égaux à 1 puis de zéros, appartient à ℓ². Son image par T est exactement y(N).
4. La distance entre y et y(N) est la racine carrée de la somme des 1/n² pour n strictement supérieur à N ; elle tend vers zéro. Le contrôle consiste à augmenter N : chaque troncature appartient à l'image et se rapproche de y. La cible appartient donc à l'image essentielle, sans appartenir à l'image ordinaire.
In practice
Pour tester si une cible y est approchable par des sorties de T, on vérifie qu'elle est orthogonale à tout vecteur du noyau de T*. Ce critère remplace la recherche explicite d'une suite d'antécédents lorsque l'adjoint est plus facile à analyser.
Pour décider si l'image est dense, on calcule le noyau de T*. S'il ne contient que le vecteur nul, la fermeture de l'image remplit l'espace d'arrivée ; il faut toutefois une autre preuve pour conclure que T est effectivement surjectif.
Pour un opérateur normal, on peut travailler directement avec le noyau de T. La décomposition spectrale devient préférable lorsqu'on veut en plus isoler la composante associée à la valeur zéro.
Not to be confused with
Image essentielle d'un opérateur et image essentielle d'une fonction mesurable. Pour une fonction mesurable, l'expression désigne les valeurs dont tout voisinage a une préimage de mesure non nulle. Ici, elle désigne la fermeture de T(H). Le type d'objet tranche : fonction sur un espace mesuré dans le premier cas, opérateur sur un espace de Hilbert dans le second.
Image essentielle et spectre. L'image essentielle est un sous-espace formé de vecteurs limites. Le spectre est un ensemble de nombres complexes lié à l'inversibilité de T moins un multiple de l'identité. Dans le cas de l'opérateur, un vecteur approchable par des sorties appartient à l'image essentielle ; une valeur spectrale appartient au spectre.
Limits and pitfalls
Une image dense n'est pas forcément toute l'image. Dans l'exemple diagonal sur ℓ², toute cible est limite de sorties, mais la suite (1/n) n'est pas une sortie exacte. Il faut donc conserver la barre de fermeture et ne pas conclure à la surjectivité.
En dimension finie, la distinction disparaît. Tout sous-espace d'un espace vectoriel normé de dimension finie est fermé. L'image essentielle coïncide alors avec l'image ordinaire ; un exemple de différence exige une dimension infinie.
Le noyau de T ne suffit pas en général. L'identité utilise le noyau de l'adjoint T*. Le remplacement par le noyau de T est valable pour un opérateur normal, mais peut échouer sinon ; il faut revenir à T*.
Le vocabulaire dépend du contexte. La fermeture de l'image est souvent simplement appelée image fermée ou adhérence de l'image. Face à l'expression « image essentielle », il faut lire la définition donnée avant d'utiliser le terme.
Further reading
L'article espace de Hilbert précise le cadre géométrique qui rend possibles l'orthogonalité, l'adjoint et la fermeture utilisés ici. La fiche Spectre prolonge l'étude des opérateurs normaux en expliquant les valeurs qui gouvernent leur inversibilité.
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