Commutant
Le commutant d'un ensemble S d'opérateurs sur un espace de Hilbert (ou d'éléments d'une algèbre) est l'ensemble de tous les opérateurs qui commutent avec chaque élément de S. Le bicommutant de S est le commutant du commutant de S. Le théorème du bicommutant de von Neumann affirme que pour une sous-algèbre étoile d'opérateurs bornés contenant l'identité, la fermeture en topologie forte coïncide avec le bicommutant. Cette notion est centrale dans la théorie des algèbres d'opérateurs.
Contents
What you will learn
- Définir le commutant et le bicommutant dans une algèbre ambiante précisée.
- Calculer le commutant d'une matrice diagonale 2 × 2 coefficient par coefficient.
- Énoncer les hypothèses du théorème du bicommutant de von Neumann.
- Distinguer commutant, commutateur et centre d'une algèbre.
- Éviter les erreurs liées à l'algèbre ambiante et à l'absence de stabilité par adjoint.
In plain terms
Prenez une transformation qui étire horizontalement une figure, puis une autre qui l'étire verticalement. Appliquer ces deux transformations dans un ordre ou dans l'autre donne le même résultat : elles commutent.
Fixons maintenant une transformation, ou toute une famille. Son commutant rassemble exactement les transformations compatibles avec elle, au sens où changer l'ordre d'application ne change rien. Le bicommutant recommence l'opération à partir de cette famille compatible.
Definition
Soit S un ensemble contenu dans une algèbre A. Le commutant de S dans A, noté S′, est l'ensemble des éléments T de A tels que T commute avec chaque élément X de S. Autrement dit :
Le choix de l'algèbre ambiante A fait partie de la définition. Pour des opérateurs sur un espace de Hilbert H, l'algèbre ambiante usuelle est celle des opérateurs linéaires bornés sur H.
Le bicommutant de S, noté S″, est le commutant de S′. Tout élément de S appartient à S″, car il commute par définition avec tous les éléments de S′. En revanche, S″ peut être beaucoup plus grand que S.
Le théorème du bicommutant de von Neumann précise un cas essentiel. Si A est une sous-algèbre d'opérateurs bornés, contient l'identité et est stable par passage à l'adjoint, alors son bicommutant A″ est exactement sa fermeture pour la topologie forte. Cette topologie traduit la convergence de chaque vecteur : une suite ou un filet d'opérateurs converge fortement lorsque leurs valeurs convergent sur tout vecteur de H.
A step-by-step example
Dans l'espace ℂ2, on fixe la matrice A qui multiplie la première coordonnée par 1 et la seconde par 2. On cherche toutes les matrices X qui commutent avec A. Les données sont :
• A est diagonale, avec coefficients 1 et 2 ;
• X a quatre coefficients inconnus a, b, c et d.
• A est diagonale, avec coefficients 1 et 2 ;
• X a quatre coefficients inconnus a, b, c et d.
1. Multiplier dans les deux ordres. Les deux produits valent :
2. Comparer les coefficients. L'égalité XA = AX impose 2b = b et c = 2c. Elle donne donc exactement b = 0 et c = 0 ; les coefficients a et d restent libres.
3. Lire le commutant. Le commutant de {A} est l'ensemble de toutes les matrices diagonales 2 × 2. La figure rend visible l'élimination des deux coefficients hors diagonale.
4. Recommencer pour le bicommutant. Une matrice qui commute avec toutes les matrices diagonales doit elle-même être diagonale. Ainsi {A}″ est encore l'ensemble des matrices diagonales.
5. Contrôler. Toute matrice diagonale diag(x, y) s'écrit (2x − y)I + (y − x)A, où I est la matrice identité. Le bicommutant obtenu est donc bien l'algèbre engendrée par A et I dans cet exemple fini.
In practice
Calcul matriciel. Pour trouver les matrices compatibles avec une matrice donnée, on pose des coefficients inconnus et on résout l'équation XA = AX. Si la matrice est diagonalisable avec des valeurs propres distinctes, travailler dans une base propre réduit directement le calcul.
Famille d'opérateurs. Pour plusieurs opérateurs, il faut satisfaire toutes les équations de commutation à la fois. Le commutant de la famille est l'intersection de leurs commutants ; une base adaptée est préférable au calcul brut lorsqu'elle est disponible.
Algèbres d'opérateurs. Pour une sous-algèbre étoile unitaire d'opérateurs bornés, calculer le bicommutant donne sa fermeture forte. Une étude directe de la convergence reste nécessaire si l'identité ou la stabilité par adjoint manque.
Not to be confused with
Commutant et commutateur. Le commutateur de deux opérateurs T et X est leur différence TX − XT ; c'est un opérateur. Le commutant de S est un ensemble d'opérateurs. Le cas tranche immédiatement : T appartient à S′ si et seulement si son commutateur avec chaque X de S est nul.
Commutant et centre d'une algèbre. Le centre rassemble les éléments de l'algèbre qui commutent avec tous ses éléments. Le commutant peut, lui, être calculé dans une algèbre ambiante plus grande. Dans les matrices 2 × 2, le centre est formé des matrices scalaires, tandis que le commutant d'une matrice diagonale à deux valeurs distinctes contient toutes les matrices diagonales.
Limits and pitfalls
L'algèbre ambiante change la réponse. Le commutant de S doit toujours être calculé dans une algèbre précisée. Un opérateur peut appartenir au commutant dans une grande algèbre tout en étant absent d'une sous-algèbre plus petite ; il faut donc annoncer l'ensemble où T est cherché.
Une famille plus grande donne un commutant plus petit. Si S est incluse dans une famille R, alors R′ est inclus dans S′. Oublier une équation de commutation agrandit artificiellement la réponse ; il faut vérifier chaque élément générateur de la famille.
Le bicommutant n'est pas une simple répétition de S. On a toujours S inclus dans S″, mais l'égalité peut échouer. Pour une sous-algèbre étoile unitaire d'opérateurs bornés, S″ correspond à la fermeture forte, et non nécessairement à l'ensemble initial s'il n'est pas déjà fermé.
Les hypothèses du théorème sont décisives. L'algèbre des matrices triangulaires supérieures 2 × 2 contient l'identité, mais n'est pas stable par adjoint. Elle est déjà fermée en dimension finie, tandis que son bicommutant est toute l'algèbre des matrices 2 × 2. Il ne faut donc pas appliquer le théorème sans vérifier la stabilité par adjoint.
Further reading
Commutateur. Relier l'appartenance au commutant à l'annulation de l'opérateur TX − XT.
espace de Hilbert. Situer le cadre fonctionnel dans lequel agit le théorème du bicommutant.
algèbre. Revoir les opérations et la structure ambiante nécessaires pour définir un commutant.
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