Fisher index
L'indice de Fisher est un indice synthétique d'évolution des prix ou des quantités, défini comme la moyenne géométrique de l'indice de Laspeyres et de l'indice de Paasche. Si L désigne l'indice de Laspeyres et P l'indice de Paasche pour une même période, alors l'indice de Fisher vaut √(L × P). Cette construction fournit une synthèse symétrique des deux pondérations, sans garantir à elle seule la correction d'un biais. Dans un cadre d'indice du coût de la vie, des hypothèses économiques supplémentaires sont nécessaires pour interpréter Laspeyres et Paasche comme des bornes. L'indice de Fisher satisfait plusieurs propriétés statistiques souhaitables, dont la propriété de réversibilité temporelle.
Contents
What you will learn
- Relier l'indice de Fisher aux indices de Laspeyres et de Paasche.
- Calculer Fisher sur un panier de deux produits avec toutes les étapes vérifiables.
- Interpréter le résultat en base 100 et repérer les cas où la formule échoue.
In plain terms
Imaginez deux paniers contenant des cahiers et des stylos. Le premier garde les quantités de départ ; le second retient les quantités achetées à l'arrivée. Chacun donne une mesure légèrement différente de la hausse des prix.
L'indice de Fisher combine ces deux regards par une moyenne géométrique. Le résultat se place entre les indices de Laspeyres et de Paasche lorsqu'ils sont positifs, ce qui fournit une synthèse de leurs deux pondérations sans supposer que l'un surestime toujours l'évolution et que l'autre la sous-estime.
Definition
L'indice de Fisher est un indice synthétique qui mesure l'évolution de prix ou de quantités entre une période de base, notée 0, et une période comparée, notée 1. Pour un indice de prix, le prix du produit i à la période t est noté pt,i, et sa quantité qt,i. Les mêmes produits et les deux périodes doivent être pris en compte dans les deux indices composants.
L'indice de Laspeyres, noté L, pondère les prix par les quantités de la période de base. L'indice de Paasche, noté P, les pondère par les quantités de la période comparée. L'indice de Fisher, noté F, est leur moyenne géométrique :
Les dénominateurs doivent être non nuls et le produit L × P doit être non négatif pour obtenir un indice réel. Dans le cadre usuel de prix, quantités et dépenses strictement positifs, F est positif et se situe entre L et P. Le même principe s'applique aux indices de quantités en échangeant le rôle des prix et des quantités. La construction de Fisher combine symétriquement Laspeyres et Paasche, mais la compensation de biais opposés ne peut être affirmée que dans un cadre théorique où ces biais sont établis. Elle satisfait notamment la réversibilité temporelle.
A step-by-step example
Une papeterie compare les prix de deux articles. À la période de base, un cahier coûte 2 € et 100 cahiers sont achetés ; un stylo coûte 5 € et 40 stylos sont achetés. À la période comparée, le cahier coûte 2,40 € pour 80 unités, et le stylo 5,50 € pour 50 unités.
1. Avec les quantités de base, l'indice de Laspeyres vaut :
2. Avec les quantités comparées, l'indice de Paasche vaut :
3. Leur moyenne géométrique donne l'indice de Fisher :
4. En base 100, l'indice de Fisher vaut donc environ 114,45, soit une hausse synthétique des prix d'environ 14,45 %. Le contrôle est double : 114,45 se trouve entre 113,90 et 115, et 1,14452 ≈ 1,3099, comme 1,15 × 1,1390 ≈ 1,3099.
In practice
Pour comparer les prix de deux périodes, on calcule d'abord Laspeyres avec le panier de départ, puis Paasche avec le panier d'arrivée. Si les deux paniers sont disponibles, Fisher offre une synthèse symétrique de leurs deux pondérations. Cette combinaison ne garantit pas, à elle seule, la correction de biais opposés.
Si seules les quantités de départ sont connues, Laspeyres reste calculable, mais Fisher ne l'est pas. Si seules les quantités d'arrivée sont connues, Paasche devient l'alternative disponible. Le choix dépend donc des pondérations effectivement observées.
Avec une convention base 100, on lit directement l'évolution : 114,45 correspond à une hausse de 14,45 % par rapport à la période de base. Pour inverser les deux périodes, la réversibilité temporelle de Fisher fournit un contrôle de cohérence.
Not to be confused with
Indice de Laspeyres. Il conserve les quantités de la période de base, tandis que Fisher combine Laspeyres et Paasche. Dans l'exemple de la papeterie, Laspeyres vaut 115, contre environ 114,45 pour Fisher : les deux valeurs ne sont donc pas interchangeables.
Indice de Paasche. Il utilise les quantités de la période comparée, alors que Fisher prend la moyenne géométrique des deux indices. Dans le même exemple, Paasche vaut environ 113,90 et Fisher 114,45 ; le panier qui fournit les pondérations permet de les distinguer.
Limits and pitfalls
Dénominateur nul. Si la valeur du panier servant de référence est nulle, Laspeyres ou Paasche comporte une division par zéro. Fisher n'est alors pas défini par cette construction ; il faut revoir le panier ou les périodes retenues.
Produit incompatible avec une racine réelle. La formule exige L × P ≥ 0, et les indices usuels de prix sont positifs lorsque les sommes de dépenses le sont. Si les données produisent un indice négatif, il faut vérifier leur domaine et leur codage avant d'appliquer Fisher.
Lecture de la base 100. Le seuil 100 signifie l'absence d'évolution seulement lorsque cette convention a été choisie. Une valeur de 114,45 signifie alors +14,45 %, et non +114,45 %. Sans indication de base, il faut d'abord identifier la normalisation.
Arrondis trop précoces. Arrondir Laspeyres et Paasche avant leur multiplication déplace le résultat. Dans l'exemple, il faut conserver 467/410 jusqu'à la racine carrée, puis arrondir Fisher à 114,45 en base 100.
Further reading
L'indice de Laspeyres détaille la mesure fondée sur les quantités de la période de base et éclaire son rôle dans Fisher.
L'indice de Paasche présente la pondération par les quantités de la période comparée, seconde composante nécessaire au calcul.
La moyenne géométrique explique pourquoi la racine carrée du produit combine deux rapports multiplicatifs sans recourir à leur moyenne arithmétique.
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