floor function
La fonction partie entière est la fonction qui associe à tout réel x le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Elle est couramment notée E(x), ou encore ⌊x⌋ (notation plancher). Par définition, E(x) est l'unique entier n vérifiant n ≤ x < n + 1. Ainsi, E(8) = 8, E(7,99999) = 7 et E(−1,12) = −2, ce dernier exemple illustrant que pour les réels négatifs non entiers, la partie entière est l'entier strictement inférieur. Cette fonction est constante sur chaque intervalle [n, n+1[ et présente une discontinuité en chaque entier. Elle intervient notamment en arithmétique, en algorithmique et dans l'étude des développements décimaux.
Contents
What you will learn
- Identifier la partie entière d’un réel avec l’encadrement n ≤ x < n + 1.
- Calculer correctement E(x) pour un entier, un décimal positif et un réel négatif.
- Distinguer la fonction plancher de la troncature, de l’arrondi et de la fonction plafond.
- Lire les intervalles constants et les discontinuités du graphe en escalier.
In plain terms
Sur une droite graduée, placez le nombre −1,12. L’entier rencontré juste à sa gauche est −2 : c’est sa partie entière. Le geste consiste donc à descendre jusqu’au premier entier qui ne dépasse pas le nombre. Pour un nombre positif comme 7,99999, on obtient 7. Pour un entier comme 8, rien ne change : sa partie entière vaut 8. Avec les nombres négatifs, ce geste ne revient pas à supprimer les décimales.
Definition
La fonction partie entière s’applique à tout nombre réel, noté x, et renvoie un entier relatif. Sa valeur est le plus grand entier inférieur ou égal à x. Elle se note couramment E(x), ou ⌊x⌋ avec la notation plancher.
Pour un entier relatif noté n, le critère exact est . Un seul entier n satisfait cet encadrement, et l’on a alors . Ainsi, E(8) = 8, E(7,99999) = 7 et E(−1,12) = −2. Pour un réel négatif non entier, le résultat est donc l’entier strictement inférieur, et non l’entier obtenu en supprimant les décimales.
Sur chaque intervalle [n, n+1[, la fonction garde la valeur n. Son graphe forme des marches horizontales et change de valeur à chaque entier, où la fonction est discontinue. Cette façon de classer un réel par tranche entière intervient en arithmétique, en algorithmique et dans l’étude des développements décimaux.
What it is made of
La fonction réunit quatre éléments. Son entrée est un réel x ; sa sortie est un entier n. L’intervalle [n, n+1[ regroupe exactement les entrées qui donnent n : sa borne gauche est incluse, sa borne droite exclue. Enfin, le graphe assemble les segments horizontaux correspondants. L’intervalle détermine donc la sortie, tandis que ses bornes déterminent les sauts entre deux valeurs. Le tracé en escalier rend ces dépendances visibles, mais sa couleur ou son échelle ne définit pas la fonction. Ces données suffisent à calculer E(x) et à construire son graphe.
A step-by-step example
On cherche la partie entière du réel x = −1,12. Données : x est compris entre deux entiers consécutifs, et la valeur cherchée doit être le plus grand entier inférieur ou égal à x.
1. Encadrons x par les entiers consécutifs −2 et −1 : −2 ≤ −1,12 < −1.
2. L’entier −2 ne dépasse pas x. L’entier suivant, −1, le dépasse déjà. Le plus grand entier admissible est donc −2.
3. On conclut E(−1,12) = ⌊−1,12⌋ = −2. Le résultat n’est pas −1 : supprimer la partie décimale ferait avancer vers zéro au lieu de rester sous x.
Le contrôle consiste à vérifier l’encadrement −2 ≤ −1,12 < −1. Le même test donne E(7,99999) = 7, car 7 ≤ 7,99999 < 8, et E(8) = 8, car 8 ≤ 8 < 9.
In practice
En arithmétique, la partie entière classe un réel dans une tranche [n, n+1[. On la choisit lorsqu’il faut conserver l’entier qui ne dépasse pas la valeur, plutôt que l’entier le plus proche.
En algorithmique, elle transforme une quantité réelle en indice de tranche entier. Le critère est l’inégalité n ≤ x < n + 1 ; un simple retrait des décimales ne convient pas si x est négatif.
Dans l’étude d’un développement décimal, E(x) isole la tranche entière qui précède les chiffres après la virgule. Pour arrondir au plus proche, il faut au contraire employer une règle d’arrondi.
Not to be confused with
La troncature à l’unité. Elle supprime les chiffres après la virgule et se dirige vers zéro. Pour 7,99999, troncature et partie entière donnent 7 ; pour −1,12, la troncature donne −1 tandis que la partie entière donne −2.
La fonction plafond. Elle choisit le plus petit entier supérieur ou égal au réel, alors que la fonction plancher choisit le plus grand entier inférieur ou égal. Pour −1,12, le plafond vaut −1 et le plancher vaut −2.
Limits and pitfalls
Nombre négatif non entier. Le piège consiste à se diriger vers zéro. Il faut chercher l’entier situé en dessous : E(−1,12) = −2, et non −1.
Valeur presque entière. La proximité ne provoque aucun arrondi. Même très proche de 8, le nombre 7,99999 reste dans [7, 8[, donc sa partie entière vaut 7.
Valeur exactement entière. La borne gauche appartient à la marche : E(8) = 8. La borne droite en est exclue et ouvre la marche suivante ; il faut donc tester « inférieur ou égal », pas seulement « inférieur ».
Lecture du graphe. Chaque segment est constant sur [n, n+1[, mais la valeur saute au passage à l’entier suivant. Relier les marches par un trait vertical ferait croire à des valeurs intermédiaires inexistantes ; la fonction est discontinue en chaque entier.
Further reading
fonction en escalier : situez la fonction partie entière dans la famille des fonctions constantes par morceaux.
Discontinuité : approfondissez ce qui se produit aux raccords entre deux marches du graphe.
Développement décimal : reliez la tranche entière aux chiffres placés après la virgule.
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