Golden ratio

Prenons un pentagone régulier dont chaque côté mesure 10 cm. Une diagonale mesure environ 16,18 cm. En divisant la diagonale par le côté, on obtient environ 1,618 : c'est le nombre d'or, noté par la lettre grecque φ, qui se lit « phi ».

Ce rapport ne dépend pas de la taille du pentagone. On retrouve aussi une valeur de plus en plus proche de φ en divisant deux termes consécutifs suffisamment avancés de la suite de Fibonacci.

Le nombre d'or est un nombre réel positif, noté φ. Il est défini comme la solution positive de l'équation suivante, où x désigne un nombre réel :Les deux solutions sont (1 + √5)/2 et (1 − √5)/2. Le nombre d'or est donc exactement $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\backslash varphi=\backslash frac\{1+\backslash sqrt5\}\{2\}$, soit environ 1,6180339 ; l'autre solution est négative.

Une longueur totale peut être partagée en une grande partie de longueur a et une petite partie de longueur b, avec a > b > 0. La section est dorée lorsque le rapport du total à la grande partie égale celui de la grande partie à la petite :Cette relation entraîne les identités exactes φ² = φ + 1 et φ = 1 + 1/φ.

Dans un pentagone régulier, le rapport entre une diagonale et un côté vaut exactement φ. Dans la suite de Fibonacci, le quotient d'un terme non nul par le terme précédent converge vers φ : chaque quotient fini n'est qu'une approximation. Des rapports proches sont observés dans certaines phyllotaxies. Les rapprochements avec des œuvres ou des bâtiments exigent, eux, des mesures et un choix explicite des longueurs comparées.

Considérons un pentagone régulier. La longueur de son côté, notée s, est de 10 cm. La longueur d'une diagonale, notée d, est inconnue. Dans un pentagone régulier, le quotient d/s vaut exactement φ.

1. La valeur exacte du nombre d'or est :Sa valeur décimale est environ 1,6180339.

2. Comme d/s = φ et s = 10 cm, la diagonale vaut exactement :

3. En remplaçant φ par sa valeur décimale, on obtient d ≈ 16,180339 cm, donc d ≈ 16,18 cm au centième. La construction géométrique associe ainsi le côté de 10 cm et la diagonale de 10φ cm.

Le contrôle consiste à refaire le quotient avec la valeur arrondie : 16,18/10 = 1,618. Il est proche de φ ; l'écart vient de l'arrondi de la diagonale, tandis que la relation d = 10φ cm reste exacte.

Dans un pentagone régulier. On mesure un côté et une diagonale, puis on calcule leur quotient. La valeur φ est imposée par la géométrie ; pour un pentagone non régulier, il faut employer ses longueurs réelles plutôt que cette propriété.

Dans la suite de Fibonacci. On divise un terme par le terme précédent pour obtenir une approximation de φ. Si une meilleure précision est nécessaire, on choisit des termes plus avancés plutôt que de présenter un quotient fini comme une égalité exacte.

En botanique. On peut comparer des arrangements de feuilles ou de graines à des modèles liés à Fibonacci et au nombre d'or. Une proximité observée décrit un motif ; elle ne prouve pas que toute plante suit exactement φ.

En art ou en architecture. On annonce les deux longueurs retenues, leur unité et la précision de mesure avant de calculer le rapport. Si l'incertitude ne permet pas de distinguer 1,618 d'autres proportions proches, la conclusion reste une approximation, pas une construction dorée établie.

Le nombre d'or et la suite de Fibonacci. φ est un nombre irrationnel, tandis que la suite de Fibonacci est une suite d'entiers. Par exemple, 13/8 = 1,625 approche φ sans lui être égal.

Une proportion dorée et une proportion seulement proche. Une section dorée vérifie exactement l'égalité (a + b)/a = a/b pour deux longueurs positives a et b. Un rapport mesuré voisin de 1,618 peut être compatible avec φ selon la précision, mais il ne constitue pas à lui seul une égalité mathématique.

Un arrondi n'est pas la valeur exacte. Écrire φ = 1,618 est faux : 1,618 est rationnel, alors que φ = (1 + √5)/2 est irrationnel. Il faut écrire φ ≈ 1,618.

La convergence n'est pas une égalité terme à terme. Les quotients 2/1, 3/2, 5/3, 8/5 ou 13/8 se rapprochent de φ en oscillant autour de lui. Aucun de ces quotients rationnels n'est égal à φ.

Une ressemblance visuelle ne suffit pas. Pour une façade, un tableau ou un objet, le rapport dépend des points entre lesquels les longueurs sont prises. Il faut annoncer ce choix et la précision des mesures avant d'invoquer le nombre d'or.

Les observations naturelles restent des approximations. Certaines phyllotaxies présentent des organisations reliées à Fibonacci, mais cela n'impose ni un quotient exactement égal à φ ni une règle universelle pour toutes les plantes.

La fiche suite de Fibonacci permet d'étudier la récurrence dont les quotients de termes consécutifs convergent vers φ.

La fiche pentagone régulier approfondit la figure dans laquelle le rapport entre diagonale et côté vaut exactement φ.

La fiche Équation du second degré donne la méthode générale qui retrouve les deux racines de x² − x − 1 = 0.