homogeneous function

Imaginez que l'on multiplie toutes les entrées d'une fonction par 3. Si sa sortie est alors multipliée par une puissance fixe de 3, la fonction est homogène. Cette puissance indique son degré.

Ainsi, pour une fonction de degré 2, tripler ensemble les entrées multiplie le résultat par 3², donc par 9. Ce qui compte est un changement d'échelle commun, et non une modification séparée de chaque entrée.

Soient deux espaces vectoriels E et F construits sur le même corps de scalaires K. Une fonction f de E vers F est homogène de degré entier naturel n lorsque la multiplication d'un vecteur x par un scalaire k multiplie sa valeur par la puissance n-ième de k : $f(kx)=k^{n}f(x)f(kx)=k^n\; f(x)$. L'identité doit être satisfaite pour tous les vecteurs et tous les scalaires admis par la définition.

Dans un polynôme homogène de degré entier n, chaque monôme a le même degré total n. En analyse réelle, une fonction positivement homogène peut avoir un degré réel : la relation d'échelle est alors demandée seulement pour les scalaires k strictement positifs, afin que kⁿ soit défini sans ambiguïté.

Si une fonction réelle de m variables est différentiable sur un domaine stable par multiplication par un scalaire positif, son homogénéité de degré n entraîne la relation d'Euler. En notant x_i sa i-ième coordonnée et ∂f/∂x_i la dérivée partielle correspondante, cette relation est : ${\sum }_{i=1}^m{x}_i\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_i}=nf(x)\backslash sum\_\{i=1\}^\{m\}\; x\_i\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\_i\}=n\; f(x)$.

La propriété repose sur quatre éléments. Le domaine E contient les vecteurs que l'on redimensionne. L'espace d'arrivée F contient les valeurs de la fonction. Le corps commun K fournit les scalaires capables de multiplier à la fois les vecteurs et les valeurs. Enfin, le degré n fixe la puissance appliquée au facteur d'échelle.

Le domaine doit rester compatible avec les changements d'échelle considérés, sinon f(kx) peut ne pas exister. Le même scalaire k agit sur l'entrée, tandis que kⁿ agit sur la sortie : c'est cette dépendance qui définit l'homogénéité. La dimension des espaces ou le tracé d'une courbe ne la définissent pas. Ces données suffisent à tester la propriété par substitution.

Considérons la fonction f de deux variables réelles définie par $f(x,y)=x^2+xy+y^{2}f(x,y)=x^2+xy+y^2$. Les données sont le point (1, 2), le facteur d'échelle 3 et le degré candidat 2.

1. On calcule la valeur initiale : $f(1,2)=1^2+1\times 2+2^2=7f(1,2)=1^2+1\backslash times2+2^2=7$.

2. On multiplie les deux coordonnées par 3. Le point (1, 2) devient (3, 6).

3. On recalcule la fonction : $f(3,6)=3^2+3\times 6+6^2=63f(3,6)=3^2+3\backslash times6+6^2=63$.

4. Le contrôle donne $3^{2}f(1,2)=9\times 7=633^2\; f(1,2)=9\backslash times7=63$. Le résultat est donc bien multiplié par 9. Plus généralement, chaque terme de f(kx, ky) contient exactement deux facteurs k ; la fonction est homogène de degré 2.

Pour un polynôme, on additionne les exposants de chaque monôme. S'ils ont tous le même total, une substitution par (kx, ky, …) permet de mettre la même puissance de k en facteur. Sinon, le polynôme n'est pas homogène.

En économie, on multiplie simultanément toutes les quantités d'entrée par un même facteur, puis on compare la production. Un degré 1 correspond à une multiplication identique de la sortie ; un autre degré signale une réponse d'échelle différente.

En analyse, notamment pour certaines équations aux dérivées partielles et en thermodynamique, on repère la loi de changement d'échelle. Lorsque la fonction est différentiable, la relation d'Euler offre un contrôle local ; la substitution directe reste le test de la définition.

Fonction linéaire. Une application linéaire est homogène de degré 1, mais elle doit aussi préserver l'addition. La fonction réelle x ↦ |x| respecte f(kx) = kf(x) pour k positif, sans être linéaire.

Polynôme homogène. Il s'agit d'un cas particulier dans lequel tous les monômes ont le même degré total. Une fonction homogène n'est pas forcément polynomiale : la norme euclidienne est positivement homogène de degré 1.

Théorème d'Euler en arithmétique. Celui-ci porte sur les puissances d'entiers modulo un entier. Ici, la relation d'Euler relie une fonction différentiable à ses dérivées partielles ; la présence d'un gradient tranche immédiatement.

Scalaires négatifs ou complexes. Pour un degré réel quelconque, kⁿ n'est pas toujours une valeur réelle univoque. On énonce alors une homogénéité positive et l'on limite le test aux facteurs k > 0.

Facteur nul. La valeur k = 0 demande une convention particulière lorsque le degré est nul ou négatif. Il faut préciser le domaine et ne pas employer 0⁰ ou une puissance négative de 0 comme si elle était définie.

Fonction nulle. Elle satisfait formellement la loi pour plusieurs degrés dès que les puissances utilisées sont définies. Son degré n'est donc pas déterminé de manière unique ; on doit l'annoncer comme une convention.

Relation d'Euler. Dériver la loi d'échelle exige de la différentiabilité. Réciproquement, l'identité différentielle redonne l'homogénéité positive le long des rayons seulement sur un domaine où ces rayons restent admissibles ; sans cette stabilité, il faut revenir à la définition.

L'espace vectoriel précise le cadre dans lequel les entrées peuvent être additionnées et multipliées par un scalaire.

La fiche scalaire éclaire le facteur qui commande le changement d'échelle dans la loi d'homogénéité.

La Dérivée partielle donne le sens des termes qui composent la relation d'Euler pour une fonction de plusieurs variables.