Maclaurin expansion
Soit I un intervalle réel contenant 0, E un espace vectoriel normé et f une application de I dans E dérivable jusqu'à l'ordre n en 0. Le développement en série de Maclaurin est le cas particulier du développement de Taylor au point a = 0. Il s'écrit : f(x) = f(0) + x f'(0)/1! + x² f⁽²⁾(0)/2! + … + xⁿ f⁽ⁿ⁾(0)/n! + Rₙ(x). Parmi les développements classiques, on retiendra notamment : eˣ = Σₙ₌₀^∞ xⁿ/n!, sin x = Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!, cos x = Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ x²ⁿ/(2n)!, et (1+x)^α = Σₙ₌₀^∞ C(α,n) xⁿ pour |x| < 1, où C(α,0) = 1 et C(α,n) = α(α−1)…(α−n+1)/n! pour n ≥ 1. Le développement de Maclaurin est un outil fondamental pour approcher des fonctions au voisinage de l'origine, calculer des limites et évaluer des intégrales.
Contents
What you will learn
- Identifier Maclaurin comme le développement de Taylor centré en zéro.
- Construire les coefficients à partir des dérivées et des factorielles.
- Approcher e puissance 0,5 à l’ordre 3 et contrôler l’écart numérique.
- Distinguer développement fini, série infinie et domaine de convergence.
In plain terms
Imaginez que vous deviez calculer e0,5 sans connaître toute la courbe exponentielle. Près de zéro, sa hauteur, sa pente et ses courbures successives suffisent à fabriquer un polynôme simple.
Le développement de Maclaurin organise cette approximation en termes de plus en plus fins. Le premier fixe la valeur en zéro, puis les suivants corrigent la pente et la courbure. Plus le nombre étudié reste proche de zéro, plus quelques termes peuvent être efficaces, à condition de contrôler le reste laissé de côté.
Definition
Soit I un intervalle réel contenant zéro et E un espace vectoriel normé. Pour un entier naturel n, on considère une application f de I dans E, dérivable jusqu’à l’ordre n en zéro. Pour un point x de I, son développement de Maclaurin est le développement de Taylor centré en zéro. Les nombres f(k)(0) sont les dérivées successives de f en zéro, et Rn(x) désigne le reste après l’ordre n.
La somme sans le reste est un polynôme qui reproduit en zéro les dérivées de f jusqu’à l’ordre n. Lorsque les restes tendent vers zéro en augmentant l’ordre, on obtient une série. Les développements classiques sont , et . Pour un paramètre α, la formule binomiale généralisée donne sous la condition |x| < 1.
What it is made of
Un développement de Maclaurin réunit cinq éléments. Le centre est fixé à zéro. Les dérivées en zéro fournissent les coefficients. Les puissances de la variable x indiquent l’ordre de chaque correction. Les factorielles k! normalisent la dérivée d’ordre k. Enfin, le reste Rn(x) mesure tout ce qui n’est pas représenté après l’ordre n.
Chaque coefficient dépend donc à la fois d’une dérivée et de son ordre. Chaque terme dépend ensuite de ce coefficient et de la puissance correspondante de x. Ces données suffisent à construire le polynôme d’ordre n ; elles ne suffisent à remplacer exactement la fonction que si le reste est maîtrisé. La couleur ou le tracé d’une courbe peuvent aider à lire l’approximation, mais ne définissent pas le développement.
A step-by-step example
On veut approcher l’exponentielle au point où la variable x vaut 0,5, à l’ordre n = 3. La fonction choisie est f(x) = ex. Ses dérivées successives en zéro valent toutes 1. Les données du calcul sont donc le point 0,5, les ordres 0 à 3 et les factorielles 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2 et 3! = 6.
1. On écrit les quatre termes : .
2. Les deux fractions valent respectivement 0,125 et 0,020833…
3. Leur addition donne .
4. L’approximation obtenue est donc e0,5 ≈ 1,645833.
2. Les deux fractions valent respectivement 0,125 et 0,020833…
3. Leur addition donne .
4. L’approximation obtenue est donc e0,5 ≈ 1,645833.
Les sommes partielles 1, puis 1,5, puis 1,625 et enfin 1,645833 se rapprochent de la valeur visée. Une graduation commune rend visible le gain fourni par chaque nouveau terme.
Pour contrôler le résultat, une calculatrice donne e0,5 ≈ 1,648721. L’écart vaut environ 1,648721 − 1,645833 = 0,002888, donc moins de trois millièmes. Ce contrôle vérifie l’approximation sans la confondre avec une égalité exacte.
In practice
Dans une limite au voisinage de zéro, on remplace les fonctions par assez de termes pour faire apparaître le premier terme non nul. Une simplification algébrique est préférable si elle lève immédiatement l’indétermination ; le développement devient utile lorsque les dérivées sont accessibles et que plusieurs termes se compensent.
Pour une intégrale sur un court intervalle proche de zéro, on peut intégrer le polynôme terme à terme. Une primitive exacte reste préférable lorsqu’elle est simple. L’approximation est pertinente lorsque le reste intégré peut être borné à la précision demandée.
Pour évaluer numériquement ex, sin x ou cos x lorsque la variable x a une petite valeur absolue, quelques termes évitent un calcul compliqué. Si x est éloigné de zéro, un développement de Taylor centré plus près de x ou une méthode numérique adaptée est préférable. Le prochain terme omis donne souvent un premier signal sur la précision, sans remplacer une borne du reste.
Not to be confused with
Développement de Taylor en un point quelconque. Le critère est le centre : Maclaurin impose zéro, tandis que Taylor peut utiliser un point a. Une approximation autour de a = 2 relève de Taylor, mais pas de Maclaurin.
Polynôme de Taylor et série de Maclaurin. Le premier s’arrête à un ordre n et conserve un reste Rn. La seconde poursuit une somme infinie. À l’ordre 3 pour e0,5, 1,645833 est une approximation polynomiale, pas encore la somme exacte de la série.
Série entière. Une série entière est d’abord une somme de coefficients multipliés par des puissances de x. Dans une série de Maclaurin, ces coefficients sont précisément les dérivées en zéro divisées par les factorielles correspondantes. Vérifier l’origine des coefficients tranche entre les deux descriptions.
Limits and pitfalls
Dérivabilité insuffisante. Connaître seulement n dérivées en zéro autorise un développement fini jusqu’à l’ordre n, pas une série infinie. Si le calcul réclame une dérivée suivante inexistante ou inconnue, il faut s’arrêter au polynôme disponible et conserver Rn(x).
Reste oublié. Même avec des dérivées de tout ordre, écrire tous les coefficients ne prouve pas encore que la série redonne la fonction. Le symptôme est une égalité annoncée sans étude de Rn(x). Il faut vérifier que ce reste tend vers zéro dans le domaine considéré.
Point trop éloigné du centre. Quand les termes omis ne diminuent pas assez, une troncature courte peut être médiocre. Il faut alors augmenter l’ordre avec une borne d’erreur, ou choisir un développement de Taylor centré plus près du point étudié.
Frontière de la formule binomiale. Pour la variable x, le développement de (1 + x)α donné ici vaut lorsque |x| < 1. À x = 1 ou x = −1, cette condition stricte n’est plus satisfaite : il faut étudier séparément la convergence au bord au lieu de prolonger automatiquement la formule.
Further reading
développement en série de Taylor — Pour déplacer le centre d’approximation de zéro vers un point a.
formule de Taylor — Pour relier le polynôme à ses dérivées et encadrer le reste.
série entière — Pour étudier le domaine et le rayon de convergence d’une somme de puissances.
La genèse des expansions de fonctions — Pour situer l’émergence des expansions de fonctions dans leur histoire mathématique.
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