mean absolute deviation

Imaginez cinq mesures : 2, 4, 4, 6 et 9. Leur moyenne vaut 5, mais les valeurs ne sont pas toutes collées à ce centre. Chacune se trouve à une certaine distance de 5.

L’écart moyen rassemble ces distances, sans tenir compte de leur direction, puis en fait la moyenne. Ici, les distances sont 3, 1, 1, 1 et 4 : leur moyenne vaut 2. Une valeur typique s’écarte donc de 2 unités du centre.

L’écart moyen est un indicateur de dispersion défini pour une série numérique finie et non vide. Le nombre d’observations est noté $nn$. Chaque observation est notée $x_{i}x\_i$, et leur moyenne arithmétique est notée $\bar{x}\backslash bar\{x\}$. On mesure la distance de chaque valeur à cette moyenne avec une valeur absolue, puis on moyenne ces distances.

L’écart moyen, noté ici $ee$, est toujours positif ou nul et s’exprime dans la même unité que les données. Il vaut 0 exactement lorsque toutes les observations sont égales. Si des valeurs sont regroupées par effectifs, chaque distance est répétée selon son effectif, ce qui revient à utiliser une moyenne pondérée. En notant $\sigma \backslash sigma$ l’écart-type calculé avec le même diviseur $nn$, l’inégalité quadratique-arithmétique donne $e\le \sigma e\backslash leq\backslash sigma$.

On étudie la série de cinq valeurs 2, 4, 4, 6 et 9, exprimées dans une même unité. Les données nécessaires sont donc ces cinq observations et leur nombre, égal à 5.

1. Moyenne. Additionner les cinq valeurs, puis diviser par 5.

2. Distances à la moyenne. Prendre la valeur absolue de chaque écart à 5.

3. Moyenne des distances. Additionner les cinq distances, puis diviser encore par 5.

L’écart moyen est donc exactement égal à 2 unités. Pour contrôler le calcul, la somme des distances doit être égale au produit du résultat par le nombre de valeurs : 2 × 5 = 10. La figure rend visibles les cinq distances qui composent cette somme.

Pour résumer des temps, des longueurs ou des scores, l’écart moyen indique de combien une observation s’éloigne du niveau moyen, en moyenne. Le résultat conserve l’unité d’origine. Si seul l’intervalle entre les deux valeurs extrêmes importe, l’étendue est plus adaptée.

Pour comparer deux séries exprimées dans la même unité et centrées de façon comparable, la série dont l’écart moyen est le plus petit est la plus resserrée autour de sa propre moyenne. Si les moyennes diffèrent fortement sur une même échelle positive, une mesure relative comme le coefficient de variation devient préférable.

Lorsque l’analyse repose sur des méthodes qui mettent les écarts au carré, l’écart-type est l’indicateur compatible. Lorsque l’on veut lire une distance moyenne dans l’unité des données, l’écart moyen offre une interprétation plus directe.

Écart-type. L’écart moyen moyenne les distances absolues à la moyenne ; l’écart-type prend la racine de la moyenne des carrés des écarts. Pour la série 2, 4, 4, 6, 9, le premier vaut 2, tandis que le second vaut $\sqrt{\mathrm{5,6}}\approx \mathrm{2,37}\backslash sqrt\{5\{,\}6\}\backslash approx2\{,\}37$.

Moyenne des écarts signés. Sans valeur absolue, les écarts positifs et négatifs à la moyenne se compensent toujours. Dans l’exemple, leur somme est −3 − 1 − 1 + 1 + 4 = 0 : ce calcul ne mesure donc pas la dispersion.

Étendue. L’étendue ne retient que la plus grande et la plus petite valeur. Ici, elle vaut 9 − 2 = 7, alors que l’écart moyen utilise les cinq observations et vaut 2.

Une valeur extrême compte encore. Les valeurs absolues évitent la mise au carré, mais elles ne rendent pas l’indicateur insensible aux extrêmes. Si 9 est remplacé par 99 dans la série conductrice, la moyenne elle-même se déplace et l’écart moyen change fortement. Il faut alors examiner aussi la distribution et le contexte des données.

Zéro est un cas précis. Un écart moyen nul ne signifie pas seulement que les valeurs sont proches : il impose qu’elles soient toutes égales. Dès qu’une observation diffère, au moins une distance est strictement positive et l’écart moyen l’est aussi.

Le centre doit être annoncé. Une moyenne de distances absolues peut être calculée autour d’un autre centre, notamment la médiane, mais ce n’est alors plus l’écart moyen à la moyenne défini ici. Il faut nommer le centre avant d’interpréter le résultat.

L’inégalité ne donne pas une conversion. Avec le même diviseur, l’écart moyen est inférieur ou égal à l’écart-type, et l’égalité est possible lorsque toutes les distances à la moyenne sont égales, comme pour 0 et 2 autour de 1. Aucune formule universelle ne transforme l’un en l’autre.

La moyenne arithmétique précise la construction du centre auquel chaque distance est mesurée.

L’écart-type montre comment une autre moyenne des écarts, fondée sur leurs carrés, décrit la dispersion.