nephroid
La néphroïde est l’épicycloïde à deux points de rebroussement tracée par un point d’un cercle de rayon a > 0 roulant sans glisser à l’extérieur d’un cercle fixe de rayon 2a. Elle est aussi la caustique formée par l’enveloppe des rayons lumineux parallèles réfléchis par un cercle, ce qui explique la courbe brillante visible dans une tasse éclairée latéralement.
Contents
What you will learn
- Identifier la néphroïde comme une épicycloïde à deux rebroussements.
- Relier la construction par roulement à la caustique visible dans une tasse.
- Vérifier des points de la courbe avec son équation cartésienne.
- Distinguer la néphroïde d'une épicycloïde ou d'une caustique quelconque.
In plain terms
Dans une tasse éclairée de côté, une ligne brillante peut dessiner une forme arrondie qui se resserre en deux pointes. Cette courbe en forme de rein est une néphroïde. Elle apparaît lorsque les rayons réfléchis par la paroi circulaire se concentrent le long d'une enveloppe.
On peut aussi la construire sans lumière : un petit cercle roule à l'extérieur d'un cercle deux fois plus grand. Un point du petit cercle trace alors la même courbe à deux rebroussements.
Definition
La néphroïde est une courbe plane de la famille des épicycloïdes. Un cercle mobile de rayon positif a roule sans glisser à l'extérieur d'un cercle fixe de rayon 2a. Un point de la circonférence du cercle mobile décrit une courbe fermée possédant deux points de rebroussement. Avec une origine angulaire adaptée, cette construction donne le paramétrage x = 3a sin(t) − a sin(3t), y = 3a cos(t) − a cos(3t).
Dans un repère cartésien, les coordonnées d'un point sont notées x et y. Pour l'orientation retenue par l'équation source, la néphroïde vérifie :
Elle est également une caustique par réflexion d'un cercle, c'est-à-dire l'enveloppe de rayons réfléchis par un miroir circulaire. Cette propriété explique la courbe lumineuse observée dans une tasse éclairée latéralement. Huygens et Tschirnhausen l'étudient en 1679, Jacques Bernoulli en 1692 et Daniel Bernoulli en 1725 ; Proctor lui donne son nom en 1878. Son tracé met en évidence les deux rebroussements et la symétrie de la courbe.
A step-by-step example
Prenons une néphroïde dont le cercle mobile a pour rayon a = 1 cm. Le cercle fixe a donc un rayon de 2 cm. Cherchons les points de la courbe situés sur l'axe horizontal, où y = 0.
1. La substitution de a = 1 cm et y = 0 donne .
2. Posons u = x2, avec u supérieur ou égal à zéro. L'équation se factorise ainsi : .
3. La seule valeur admissible est u = 16 cm2. On obtient donc x = −4 cm ou x = 4 cm.
4. Le contrôle est direct : pour chacun des deux points (−4 cm, 0) et (4 cm, 0), les deux membres de l'équation valent exactement 1 728 cm6.
In practice
Dans une construction géométrique, la néphroïde est le bon modèle lorsque le cercle fixe a un rayon exactement double de celui du cercle extérieur qui roule. Si le rapport des rayons change, on obtient une autre épicycloïde.
Dans une tasse éclairée latéralement, la ligne brillante se lit comme l'enveloppe de rayons réfléchis par la paroi circulaire. Le geste utile consiste à repérer la concentration lumineuse, plutôt qu'à suivre un rayon isolé.
Pour contrôler un tracé analytique, on remplace les coordonnées de quelques points dans l'équation cartésienne. Les deux rebroussements et les symétries fournissent ensuite des contrôles visuels complémentaires.
Not to be confused with
Une épicycloïde quelconque. Le mot épicycloïde désigne la famille obtenue par roulement extérieur. La néphroïde est le cas précis où le rayon fixe vaut 2a et où la courbe a deux rebroussements. Un autre rapport de rayons tranche la distinction.
La caustique en général. Une caustique est une enveloppe de rayons ; la néphroïde est la forme particulière associée ici à la réflexion sur un cercle. Une enveloppe qui ne vérifie pas l'équation de la néphroïde dans l'orientation et le repère fixés peut néanmoins être une rotation ou une transformation géométrique de la même néphroïde : son équation doit alors être transformée en conséquence.
Limits and pitfalls
Rayon nul. La construction suppose a strictement positif. Si a = 0, l'équation se réduit à un seul point à l'origine : il n'existe plus de cercle roulant ni de néphroïde.
Orientation du repère. L'équation donnée fixe une orientation particulière. Après une rotation d'un quart de tour, les rôles de x et y s'échangent ; une courbe tournée n'est donc pas mise en défaut par une substitution faite dans le mauvais repère.
Construction et paramétrage. Dans la construction épicycloïdale, un cercle de rayon a roule à l'extérieur d'un cercle fixe de rayon 2a, et le point générateur est sur la circonférence du cercle mobile. Avec une origine angulaire adaptée, cette construction donne x = 3a sin(t) − a sin(3t) et y = 3a cos(t) − a cos(3t).
Further reading
L'article épicycloïde replace la néphroïde dans la famille des courbes produites par le roulement extérieur d'un cercle.
L'entrée caustique prolonge l'interprétation optique en étudiant les enveloppes formées par des rayons lumineux.
La cardioïde offre un point de comparaison utile parmi les courbes cycloïdales à point de rebroussement.
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