Nth root function

Quel nombre faut-il multiplier quatre fois par lui-même pour obtenir 81 ? La réponse est 3, car 3⁴ = 81 : 3 est la racine quatrième de 81. La fonction racine n-ième effectue ce trajet à rebours. Elle part d'un résultat et retrouve le nombre dont la puissance n a donné ce résultat.

La parité de n change les nombres acceptés. Une racine d'ordre pair ne reçoit que des réels positifs ou nuls. Une racine d'ordre impair accepte aussi les négatifs : la racine cubique de −8 vaut −2.

Soit n un entier au moins égal à 2. La fonction racine n-ième est la fonction réciproque d'une fonction puissance rendue bijective sur un domaine approprié. Pour un réel b appartenant au domaine réel de la racine, sa valeur est l'unique réel a tel que aⁿ = b, avec a positif ou nul lorsque n est pair : $a=\sqrt[n]{b}⟺a^n=b\text{ et }(n\text{ impair ou }a\ge 0)a=\backslash sqrt[n]\{b\}\backslash iff\; a^n=b\backslash \; \backslash text\{\; et\; \}\backslash \; (n\backslash \; \backslash text\{\; impair\; \}\backslash \; \backslash text\{\; ou\; \}\backslash \; a\backslash ge\; 0)$.

Si n est pair, la fonction x ↦ xⁿ est restreinte aux réels positifs ou nuls. Sur ℝ₊, elle est bijective vers ℝ₊ : b doit donc être positif ou nul, et la valeur a choisie est elle aussi positive ou nulle. Si n est impair, la fonction puissance est une bijection de ℝ vers ℝ. La racine n-ième est alors définie pour tout réel b, sans restriction de signe. Dans les deux cas, elle est croissante et continue sur son domaine.

Pour une variable réelle x, en tout point non nul de son domaine, sa dérivée vaut ${\left(x^{1\mathrm{/}n}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{n}{x}^{1\mathrm{/}n-1}\backslash left(x^\{1/n\}\backslash right)\text{'}=\backslash frac\{1\}\{n\}x^\{1/n-1\}$. Lorsque n est pair, 0 est un bord du domaine et non un point intérieur. Lorsque n est impair et n > 1, 0 est intérieur mais la fonction n'y est pas dérivable au sens usuel : sa tangente est verticale. Dans ℂ, tout complexe non nul possède exactement n racines n-ièmes distinctes, réparties régulièrement sur un cercle centré en 0 ; sans choix supplémentaire, ces n valeurs ne définissent pas une fonction complexe à valeur unique.

Quatre éléments organisent la fonction. L'indice n fixe la puissance à inverser et sa parité. La fonction puissance associe à un nombre x la valeur xⁿ. Le domaine sélectionne les nombres pour lesquels l'inversion donne une valeur réelle unique : ℝ₊ si n est pair, ℝ si n est impair. La branche réelle choisie impose, dans le cas pair, une sortie positive ou nulle.

L'indice détermine donc le domaine, tandis que le domaine rend la fonction puissance bijective et permet l'existence de sa réciproque. La puissance et la racine se défont alors l'une l'autre sur les ensembles retenus. Ces données suffisent à calculer une racine réelle et à contrôler le résultat en l'élevant à la puissance n. La couleur ou l'échelle d'un tracé ne font pas partie de la définition.

On cherche la racine quatrième de 81. Les données sont l'indice n = 4, qui est pair, et le nombre b = 81, qui est positif. La valeur cherchée doit donc appartenir à ℝ₊.

1. On cherche un réel positif a tel que a⁴ = 81.

2. Comme 3 × 3 × 3 × 3 = 81, on obtient $\sqrt[4]{81}=3\backslash sqrt[4]\{81\}=3$.

3. Le contrôle consiste à refaire le trajet direct : 3⁴ = 81. Le calcul restitue exactement la donnée initiale.

Le trajet aller-retour entre 3 et 81 montre le rôle réciproque des deux fonctions. Le nombre −3 vérifie aussi (−3)⁴ = 81, mais il n'est pas la valeur de la fonction racine quatrième, dont la sortie réelle est choisie dans ℝ₊.

Pour retrouver la longueur du côté d'un carré à partir de son aire, on utilise la racine carrée. Si l'on connaît au contraire le côté, la puissance 2 est l'opération directe à choisir.

Pour retrouver l'arête d'un cube à partir de son volume, on utilise la racine cubique. Une donnée négative exclut une racine d'ordre pair dans ℝ, mais elle reste compatible avec une racine d'ordre impair.

Après un calcul numérique, le contrôle le plus sûr consiste à élever le résultat à la puissance n. On doit retrouver la valeur de départ, exactement pour un calcul symbolique ou à la précision annoncée pour une valeur arrondie.

Racine n-ième et solutions d'une équation. La fonction racine réelle renvoie une seule valeur. L'équation x⁴ = 81 possède pourtant deux solutions réelles, −3 et 3, tandis que la racine quatrième de 81 vaut seulement 3.

Racine n-ième et inverse multiplicatif. La racine défait une puissance : la racine quatrième de 81 vaut 3. L'inverse multiplicatif de 81 est 1/81, car leur produit vaut 1.

Fonction réciproque et fonction inverse. Une fonction réciproque échange les entrées et les sorties d'une bijection. La fonction x ↦ 1/x prend, elle, l'inverse multiplicatif de chaque valeur non nulle.

Indice pair et nombre négatif. Une expression comme la racine quatrième de −16 n'a pas de valeur dans ℝ. Il faut changer de cadre et travailler dans ℂ, ou signaler que le calcul réel est impossible.

Le point 0. Pour n > 1, la formule de dérivation contient une puissance négative et ne s'applique pas en 0. Si n est pair, 0 est au bord de ℝ₊ ; si n est impair, la courbe y présente une tangente verticale et la dérivée réelle finie n'existe pas.

L'indice 1. La racine première est simplement la fonction identité : tout réel est renvoyé sur lui-même. Le partage pair–impair reste cohérent, mais les difficultés de dérivabilité décrites pour n > 1 disparaissent. L'indice 0 ne définit pas une racine n-ième au sens usuel.

Dans les complexes. Un complexe non nul a n racines distinctes, mais 0 n'en a qu'une, comptée n fois avec multiplicité. Pour parler d'une fonction complexe à valeur unique, il faut choisir une branche sur un domaine adapté.

La fonction réciproque précise pourquoi il faut restreindre une puissance paire avant de l'inverser.

La fiche sur la racine n-ième d'un nombre complexe développe le passage d'une valeur réelle choisie à plusieurs racines complexes.

Les racines n-ièmes de l'unité donnent le cas de référence où les n solutions se répartissent régulièrement sur le cercle unité.