Open set - topology -

Sur une droite graduée, l'intervalle ]−1, 2[ laisse un peu de place autour de chacun de ses points. Depuis 0,5, par exemple, on peut avancer ou reculer sans sortir aussitôt de l'intervalle. En revanche, −1 et 2 ne lui appartiennent pas : ce sont ses points-frontière.

Cette marge locale caractérise les ouverts de la droite réelle. Dans un espace topologique plus général, il n'y a pas forcément de distance, mais la famille déclarée ouverte conserve cette idée d'absence de bord inclus.

Soit X un ensemble. Une topologie sur X est une famille 𝒯 de parties de X qui contient l'ensemble vide et X, qui est stable par réunion quelconque et par intersection finie. Ces trois exigences s'écrivent :

Une partie U de X est ouverte lorsque U appartient à 𝒯. De façon équivalente, chacun de ses points possède un voisinage ouvert entièrement contenu dans U. L'intérieur de U est le plus grand ouvert contenu dans U ; ainsi, U est ouvert exactement lorsque son intérieur est U. Sa frontière est la différence entre son adhérence et son intérieur. Comme U est toujours contenu dans son adhérence, U est ouvert exactement lorsqu'il ne contient aucun point de sa frontière. La qualité d'ouvert dépend donc de la topologie choisie sur X, et non de la seule liste des points de U.

Dans la droite réelle munie de sa topologie usuelle, on teste l'ensemble U = ]−1, 2[.
Données : un point quelconque x appartient à U ; ses distances aux deux bornes sont x + 1 et 2 − x ; la plus petite de ces distances est strictement positive.

1. Choisir comme marge la moitié de la plus petite distance aux bornes : $r=\frac{1}{2}\min (x+1,2-x)r=\backslash frac12\backslash min(x+1,2-x)$.
2. Cette marge r est strictement positive puisque −1 < x < 2.
3. L'intervalle ]x − r, x + r[ reste entièrement dans ]−1, 2[.
4. Le même raisonnement vaut pour chaque point x de U ; l'ensemble U est donc ouvert.

Le contrôle se refait avec x = 0,5. Les deux distances valent 1,5, donc r = 0,75 et l'intervalle obtenu est ]−0,25, 1,25[, bien inclus dans U. La représentation matérialise cette marge sans inclure les deux bornes de U.

Pour montrer qu'une partie est ouverte, on prend un point quelconque et on construit autour de lui un ouvert plus petit qui reste dans la partie. Dans un espace métrique, une boule ouverte fournit souvent ce témoin.

Sur la droite réelle, résoudre une inégalité stricte produit souvent un intervalle ouvert ou une réunion d'intervalles ouverts. Si une description par complément est plus courte, on peut plutôt montrer que le complément est fermé.

En analyse, les ouverts servent à formuler la continuité : l'image réciproque de tout ouvert doit être ouverte. Ce critère topologique est préféré aux distances lorsque l'espace étudié n'en possède pas.

Ouvert et fermé. Une partie est ouverte si elle appartient à la topologie ; elle est fermée si son complémentaire est ouvert. Dans la droite réelle, ]−1, 2[ est ouvert, tandis que [−1, 2] est fermé. Les deux propriétés ne sont pas toujours opposées : l'ensemble vide et l'espace entier sont à la fois ouverts et fermés.

Ouvert et voisinage. Tout ouvert contenant un point est un voisinage de ce point. Selon la définition usuelle, un voisinage n'est pourtant pas obligé d'être ouvert : [−1, 2] est un voisinage de 0 dans la droite réelle parce qu'il contient, par exemple, ]−0,5, 0,5[.

Ouvert et intérieur. L'intérieur d'une partie est un ensemble, plus précisément son plus grand sous-ensemble ouvert. La partie [−1, 2] n'est pas ouverte dans la droite réelle, mais son intérieur ]−1, 2[ l'est.

Une intersection infinie peut cesser d'être ouverte. Dans la droite réelle, chaque intervalle ]−1/n, 1/n[ est ouvert lorsque l'entier n est au moins égal à 1, mais leur intersection est {0}, qui n'est pas ouverte. Il faut donc invoquer la stabilité seulement pour une intersection finie.

La forme ne suffit pas sans préciser l'espace. La partie [0, 1[ n'est pas ouverte dans la droite réelle, mais elle est ouverte dans le sous-espace [0, 2] muni de la topologie induite, car elle y est l'intersection de ]−1, 1[ avec [0, 2]. Il faut toujours nommer l'espace ambiant et sa topologie.

Ouvert ne signifie pas non borné. L'intervalle ]−1, 2[ est ouvert et borné dans la droite réelle. Le mot décrit l'appartenance à une topologie, pas l'étendue de la partie.

La fiche fermé - topologie - développe la propriété complémentaire et le rôle de l'adhérence.

La fiche Voisinage approfondit le critère local qui place un ouvert autour de chaque point.

La fiche Base d'une topologie montre comment engendrer tous les ouverts à partir d'une famille plus petite.

La fiche Topologie quotient étudie les ouverts lorsque des points sont identifiés par une application surjective.