Pochhammer symbol
Le symbole de Pochhammer, noté , est défini, pour un entier naturel n, par le produit a fois (a+1) fois (a+2) jusqu’à (a+n−1), avec la convention . Il est aussi appelé factorielle montante ou puissance ascendante. La valeur de départ a peut notamment être un entier négatif ou un nombre complexe. Lorsque le quotient est défini, la fonction gamma donne . Une extension à des indices entiers négatifs existe aussi, sous réserve que son dénominateur ne soit pas nul.
Contents
What you will learn
- Lire la notation (a)ₙ comme un produit de n facteurs consécutifs.
- Refaire le calcul exact de (3)₄ = 360.
- Distinguer la factorielle montante de la factorielle ordinaire, de la descendante et d’une puissance.
- Savoir quand le quotient de fonctions gamma exige une précaution.
In plain terms
Prenez le nombre 3 et multipliez-le par les trois nombres qui le suivent : 3 × 4 × 5 × 6. Le résultat, 360, est la factorielle montante de 3 sur quatre facteurs. Le symbole de Pochhammer condense cette chaîne sous la notation (3)4.
Le nombre placé en bas indique combien de facteurs consécutifs sont multipliés. Avec zéro facteur, le produit vaut 1 par convention.
Definition
Le symbole de Pochhammer, aussi nommé factorielle montante ou puissance ascendante, décrit un produit de facteurs consécutifs. Le nombre a est la valeur de départ et l’entier naturel n est le nombre de facteurs. La définition est :
Pour n positif, le dernier facteur est a + n − 1. La valeur de départ a peut être réelle ou complexe : le produit fini reste alors défini. Lorsque le quotient a un sens ordinaire, la fonction gamma donne l’identité . Aux pôles de la fonction gamma, le quotient écrit séparément peut être indéterminé alors que le produit fini conserve une valeur. Cette notation apparaît notamment dans les séries hypergéométriques et les fonctions spéciales.
A step-by-step example
On veut calculer la factorielle montante qui part de 3 et comporte quatre facteurs. Données : la valeur de départ est a = 3 et le nombre de facteurs est n = 4.
1. Le dernier facteur vaut 3 + 4 − 1 = 6.
2. Les quatre facteurs consécutifs sont donc 3, 4, 5 et 6.
3. Leur produit vaut 3 × 4 × 5 × 6 = 360.
2. Les quatre facteurs consécutifs sont donc 3, 4, 5 et 6.
3. Leur produit vaut 3 × 4 × 5 × 6 = 360.
Le calcul complet s’écrit . Une chaîne de quatre cases permet de voir simultanément le départ, les incréments de 1 et le résultat du produit.
Le contrôle consiste à compter exactement quatre facteurs, puis à vérifier que chacun dépasse le précédent de 1. On peut aussi regrouper les produits : 3 × 4 = 12 et 5 × 6 = 30, puis 12 × 30 = 360.
In practice
Dans une série hypergéométrique, le symbole regroupe les produits consécutifs qui apparaissent dans les coefficients. Il évite de redévelopper la même chaîne à chaque terme et rend visible le passage d’un rang au suivant.
Pour calculer un petit rang entier, le produit direct est le choix le plus lisible : (3)4 devient 3 × 4 × 5 × 6. Pour relier la notation aux fonctions spéciales, la forme avec la fonction gamma est préférable, à condition que son quotient soit défini.
En calcul symbolique, la notation conserve la structure « départ plus incréments successifs ». Développer le produit est utile lorsqu’on cherche une valeur numérique ; le garder compact est utile lorsqu’on manipule une formule générale.
Not to be confused with
Avec la factorielle ordinaire. La factorielle n! multiplie les entiers de 1 à n, tandis que (a)n multiplie n nombres à partir de a. Ainsi, 4! = 24, mais (3)4 = 360.
Avec la factorielle descendante. La factorielle montante augmente chaque facteur de 1 ; la factorielle descendante le diminue de 1. En partant de 3 sur trois facteurs, la première donne 3 × 4 × 5, la seconde 3 × 2 × 1.
Avec une puissance. Dans an, le même facteur a est répété n fois. Dans (a)n, les facteurs changent : a, puis a + 1, jusqu’à a + n − 1.
Limits and pitfalls
Zéro facteur. Lorsque n = 0, aucune multiplication n’est effectuée et (a)0 vaut 1 par convention, même si a vaut 0. Il ne faut pas chercher un dernier facteur dans ce cas.
Départ entier négatif ou nul. Si a = −m avec m entier naturel, le produit devient nul dès que le nombre de facteurs n dépasse m, car l’un des facteurs est 0. Par exemple, (−2)3 = (−2) × (−1) × 0 = 0.
Quotient de fonctions gamma. Aux entiers où la fonction gamma possède un pôle, écrire séparément Γ(a + n) / Γ(a) peut produire une forme indéterminée. Le produit fini, qui est un polynôme en a pour n fixé, donne alors directement la bonne valeur.
Indice négatif. La définition par n facteurs suppose n entier naturel. Pour un entier positif m, une extension possible est , seulement lorsque le dénominateur n’est pas nul. Cette extension ne doit pas être confondue avec le produit fini initial.
Further reading
La fonction gamma prolonge la factorielle et éclaire l’écriture du symbole de Pochhammer sous forme de quotient.
La série hypergéométrique montre pourquoi les factorielles montantes constituent une notation naturelle pour les coefficients de nombreuses séries.
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