q-analogue function

Prenons le nombre 3 et remplaçons-le par 1 + q + q². Avec q = 1/2, cette somme vaut 1,75. Lorsque q se rapproche de 1, elle se rapproche de 3. Le paramètre q agit donc comme un curseur : il déforme une expression classique sans la rendre méconnaissable.

Un q-analogue conserve surtout une structure utile et retrouve l'objet ordinaire à la limite q → 1. Il existe ainsi des versions q des entiers, des factorielles, de l'exponentielle et de la dérivation.

Soit q un paramètre réel ou complexe. Une famille d'objets dépendant de q est appelée q-analogue d'un objet classique lorsqu'elle en préserve une structure pertinente et redonne cet objet quand q tend vers 1. Pour une fonction ordinaire f, on note f_q une telle déformation et l'on exige : ${\lim }_{q\to 1}{f}_q(x)=f(x)\backslash lim\_\{q\; \backslash to\; 1\}\; f\_q(x)=f(x)$, pour les valeurs de x où cette limite a un sens. La seule existence de la limite ne détermine pas une famille unique.

Un exemple fondamental est l'entier q-analogue. Pour un entier positif n, il est noté [n]_q et vaut : $[n{]}_q=1+q+\cdots +q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}[n]\_q=1+q+\backslash cdots+q^\{n-1\}=\backslash frac\{1-q^n\}\{1-q\}$, lorsque q ≠ 1. Sa limite est n. Les produits de ces q-entiers donnent les q-factorielles, qui interviennent à leur tour dans des séries et des coefficients binomiaux déformés.

La q-dérivée de f, dans une convention courante, compare f(x) à f(qx). Pour q ≠ 1 et x ≠ 0, elle est définie par : $D_{q}f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}D\_qf(x)=\backslash frac\{f(qx)-f(x)\}\{(q-1)x\}$. Si f est dérivable au point x, cette expression tend vers f′(x) lorsque q réel tend vers 1. Elle remplace ainsi une variation infinitésimale par un changement multiplicatif de l'argument.

Une construction q-analogue réunit quatre éléments. L'objet classique fournit le point d'arrivée. Le paramètre q commande la déformation. Une formule dépendant de q décrit l'objet déformé. Enfin, le passage à la limite q → 1 vérifie que l'on retrouve bien le cas classique.

Ces parties dépendent les unes des autres. La formule choisie fixe les propriétés conservées, tandis que la limite la rattache à l'objet initial. Ainsi, [n]_q remplace l'entier n, puis le produit [1]_q[2]_q…[n]_q construit la q-factorielle. La même brique se retrouve dans des q-séries.

La condition de limite ne suffit pas, à elle seule, à choisir le « bon » q-analogue. Les identités que l'on veut préserver, le domaine de q et la convention adoptée font donc partie de la construction mathématique, pas de sa simple notation.

Calculons la q-dérivée de la fonction f définie par f(x) = x³, au point x = 2, avec q = 1/2. Les données sont donc f, le point 2 et le facteur q qui transforme 2 en qx = 1.

1. Évaluons la fonction aux deux arguments : f(2) = 8 et f(1) = 1.

2. Substituons ces valeurs dans la définition : $D_{1\mathrm{/}2}f(2)=\frac{f(1)-f(2)}{(1\mathrm{/}2-1)\times 2}=\frac{1-8}{-1}=7D\_\{1/2\}f(2)=\backslash frac\{f(1)-f(2)\}\{(1/2-1)\backslash times2\}=\backslash frac\{1-8\}\{-1\}=7$.

3. Retrouvons le même résultat par le q-entier. Pour f(x) = x³, la q-dérivée vaut [3]_qx². Or [3]_1/2 = 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4. La figure décompose ce facteur en ses trois termes.

4. Au point x = 2, on obtient (7/4) × 2² = (7/4) × 4 = 7. Les deux voies coïncident. Pour contrôler la limite classique, [3]_q tend vers 3 ; la q-dérivée tend donc vers 3x², puis vaut 12 en x = 2.

En combinatoire, les q-entiers et les q-coefficients binomiaux gardent la trace d'un paramètre supplémentaire dans un dénombrement. On les préfère aux entiers ordinaires lorsqu'il faut pondérer les objets comptés, puis retrouver le comptage non pondéré en faisant tendre q vers 1.

Dans une équation q-différentielle, l'inconnue est reliée à ses valeurs en x et en qx. La q-dérivée convient lorsque le changement d'échelle est multiplicatif ; la dérivée ordinaire reste naturelle pour une variation additive infinitésimale.

Les q-séries organisent des versions déformées de fonctions comme l'exponentielle. Elles servent notamment dans l'étude des polynômes orthogonaux, des fonctions hypergéométriques de base, de la physique mathématique et de la théorie des représentations.

Un q-analogue n'est pas une approximation numérique. Pour q = 1/2, [3]_q = 7/4 est une valeur exacte de l'objet déformé ; elle ne cherche pas à arrondir 3. C'est le passage q → 1 qui relie les deux objets.

La q-dérivée n'est pas la dérivée ordinaire calculée avec une petite erreur. Dans l'exemple f(x) = x³, x = 2 et q = 1/2, elle vaut exactement 7, tandis que f′(2) = 12. Sous les hypothèses de dérivabilité, la q-dérivée converge vers la dérivée ordinaire lorsque q réel tend vers 1, sans exclure une égalité pour d'autres valeurs particulières de q.

Une q-déformation ne se confond pas non plus avec une simple substitution de variable. Remplacer x par qx donne f(qx) ; former D_qf compare f(qx) et f(x), puis normalise leur différence.

La formule (1 − qⁿ)/(1 − q) et celle de la q-dérivée ont un dénominateur nul pour q = 1. Il ne faut pas y substituer directement q = 1 : on calcule leur limite, qui donne respectivement n et la dérivée ordinaire lorsqu'elle existe.

La formule de D_qf contient aussi x au dénominateur. Au point x = 0, elle ne s'applique donc pas telle quelle. Une valeur en 0 demande un prolongement justifié, souvent par une limite, et ce prolongement n'existe pas automatiquement.

Dire qu'une famille tend vers l'objet classique ne garantit ni son unicité ni la conservation de toutes ses propriétés. Deux constructions peuvent avoir la même limite en q = 1 tout en satisfaisant des identités différentes. Il faut donc annoncer la convention utilisée.

Pour un paramètre complexe ou pour une série infinie, l'existence de la limite et la convergence doivent être examinées dans le domaine considéré. Le symbole q → 1 ne suffit pas à justifier un passage à la limite terme par terme.

La fonction exponentielle donne le modèle classique dont les q-exponentielles déforment les coefficients et les identités.

La notion de série entière aide à lire comment une fonction est construite à partir de coefficients, avant leur remplacement par des quantités dépendant de q.

Les polynômes orthogonaux montrent un domaine où les q-analogues forment des familles structurées, reliées aux fonctions hypergéométriques de base.