Scipione del Ferro

À Bologne, entre 1465 et 1526, Scipione del Ferro travaille sur une énigme encore redoutable : trouver une inconnue élevée au cube. Il découvre une procédure pour certaines équations sans terme en x², mais ne l'imprime pas.

Sa méthode circule donc comme un savoir réservé à quelques proches. Transmise à Annibal de la Nave puis à Anton Maria del Fiore, elle devient même une arme dans les défis mathématiques publics de la Renaissance.

Scipione del Ferro est un mathématicien italien né et mort à Bologne, dont la vie s'étend de 1465 à 1526. Son nom est attaché à la première découverte d'une résolution algébrique pour une classe d'équations du troisième degré. Il s'agit des équations aujourd'hui dites cubiques déprimées, parce que le terme en x² y est absent.

Dans l'écriture $x^3+px=qx^3+px=q$, la lettre x désigne l'inconnue, tandis que p et q désignent des nombres fixés. La découverte de del Ferro ne couvre donc pas, telle quelle, toute équation générale du troisième degré comportant un terme en x².

Del Ferro ne publie pas ce résultat. Il conserve ses méthodes dans des notes privées, les communique à quelques proches et transmet celle des cubiques à son gendre Annibal de la Nave, son successeur à l'université de Bologne. La méthode passe ensuite à Anton Maria del Fiore, qui s'en sert lors de défis publics. Cette histoire précède les travaux plus connus de Tartaglia et de Cardan. Del Ferro contribue aussi à l'étude des fractions et à des problèmes de géométrie.

Prenons l'équation x³ + 6x = 20. Elle possède bien la forme étudiée : l'inconnue est x, le nombre p vaut 6, le nombre q vaut 20 et aucun terme en x² n'apparaît.

1. On applique à ces données l'expression algébrique associée à la cubique déprimée :

2. Avec p = 6 et q = 20, la quantité sous la racine carrée vaut 20²/4 + 6³/27 = 100 + 8 = 108. La formule donne donc la somme des racines cubiques réelles de 10 + 6√3 et de 10 − 6√3.

3. Cette somme vaut exactement 2. Le contrôle est direct : 2³ + 6 × 2 = 8 + 12 = 20. Ainsi, x = 2 est une solution de l'équation annoncée.

Pour reconnaître le domaine de la découverte de del Ferro, on regarde d'abord les puissances de l'inconnue. Une équation polynomiale de degré 3 sans terme en x² appartient, après normalisation, à la classe x³ + px = q décrite par la source.

Pour lire l'épisode historique, on suit aussi la circulation du résultat. Une publication aurait rendu la procédure publique ; ici, les notes privées et les transmissions personnelles expliquent pourquoi la découverte est longtemps restée associée à un petit cercle.

Pour situer les acteurs, on sépare enfin découverte, transmission et diffusion. Del Ferro découvre la méthode, Annibal de la Nave la reçoit, puis del Fiore l'emploie dans des défis ; Tartaglia et Cardan appartiennent à la suite plus connue de cette histoire.

Scipione del Ferro et Tartaglia. Del Ferro est présenté ici comme le premier découvreur d'une méthode pour la classe x³ + px = q ; Tartaglia intervient dans des travaux ultérieurs, plus connus. Le critère qui tranche est donc l'attribution de la première découverte, non la célébrité postérieure.

Scipione del Ferro et Cardan. La méthode de del Ferro est restée dans des notes privées, tandis que Cardan appartient à la suite plus célèbre de l'histoire des cubiques. La plus grande notoriété des travaux de Cardan ne lui attribue donc pas la première découverte décrite ici.

Équation cubique et méthode de del Ferro. Une équation cubique peut contenir un terme en x². La classe directement visée par la découverte décrite ici n'en contient pas : x³ + 6x = 20 convient, contrairement à x³ + x² + 6x = 20.

Le terme en x² est présent. L'équation n'est alors pas directement de la forme x³ + px = q. Le symptôme est visible dans son écriture ; il faut d'abord effectuer une transformation adaptée avant d'envisager une procédure pour cubique déprimée.

Une formule réelle rencontre une racine carrée négative. Cela ne prouve pas que l'équation n'a aucune solution réelle. Le calcul peut exiger un cadre numérique plus large ou une autre présentation de la solution ; il ne faut pas interrompre le raisonnement au seul signe négatif.

L'exemple ne donne pas toutes les solutions possibles. Vérifier x = 2 dans x³ + 6x = 20 établit que 2 est une solution. Pour cette équation précise, la fonction x ↦ x³ + 6x est strictement croissante sur les nombres réels, ce qui assure qu'il n'existe pas d'autre solution réelle.

Une date manque dans la chaîne de transmission. La source situe del Ferro entre 1465 et 1526 et place la transmission à Annibal de la Nave en fin de vie, sans dater chaque passage. Il faut conserver cet ordre sans inventer une année précise.

La fiche cubique précise la famille d'équations à laquelle appartient le problème traité par del Ferro.

Le parcours peut se poursuivre avec Tartaglia Nicolo Fontana, pour situer l'étape ultérieure citée dans cette histoire.

La fiche Cardan Jérôme éclaire l'autre nom auquel la postérité a largement associé la résolution des cubiques.