Tauber's theorem
Pour une série entière de rayon de convergence ρ, si sa somme tend vers une limite finie L quand la variable approche ρ par l’intérieur et si ses coefficients aₙ vérifient n aₙρⁿ→0, alors la série converge aussi en ρ, avec pour somme L. Le contrôle des coefficients permet ainsi de transformer une limite observée près du bord en convergence effective au bord.
Contents
What you will learn
- Identifier les deux hypothèses du théorème de Tauber.
- Relier la limite de la fonction somme à la somme de la série au bord.
- Vérifier le critère sur un exemple télescopique et repérer les cas où il ne s'applique pas.
In plain terms
Imaginez que l'on additionne les termes d'une série entière tant que le nombre x reste à l'intérieur de son domaine de convergence. En rapprochant x du bord, les sommes approchent une valeur finie. Cela ne garantit pas, à lui seul, que la série converge exactement sur le bord.
Le théorème de Tauber fournit le chaînon manquant : si les coefficients deviennent assez petits, la valeur approchée depuis l'intérieur est bien la somme obtenue au bord.
Definition
Le théorème de Tauber est un critère de convergence au bord pour une série entière. On considère des coefficients an, un rayon de convergence positif ρ et la fonction f définie, pour les valeurs réelles x comprises entre 0 et ρ, par la somme de la série.
La première hypothèse porte sur les sommes prises à l'intérieur du disque : f(x) doit tendre vers une limite finie L lorsque x s'approche de ρ par valeurs inférieures. La seconde impose une régularité aux coefficients : .
Sous ces deux conditions, la série numérique obtenue en posant x = ρ converge, et sa somme vaut L. Le résultat transforme ainsi une limite dite abélienne, observée depuis l'intérieur, en convergence ordinaire au point du bord.
The principle
Soit une série entière de coefficients an, indexés par n ≥ 1, et de rayon de convergence ρ > 0, dont la somme est f(x) pour 0 ≤ x < ρ. Si f(x) tend vers une limite finie L quand x tend vers ρ par valeurs inférieures, et si , alors :
When to use it
Le critère concerne un point situé sur le bord d'un disque de convergence de rayon positif. Il faut connaître la limite intérieure de la somme f(x), puis vérifier séparément que le produit n an ρn tend vers zéro. Ces conditions donnent alors la convergence et la valeur de la somme au bord.
Une limite finie de f ne suffit pas. Pour an = (−1)n, avec n ≥ 1, et ρ = 1, la fonction somme tend vers −1/2 lorsque x tend vers 1, mais les termes au bord alternent entre −1 et 1 : la série diverge. Ici, n an ne tend pas vers zéro, donc le théorème ne s'applique pas.
A step-by-step example
Considérons la série de rayon 1 dont l'indice n commence à 1. Ses données sont :
• an = 1/[n(n + 1)] ;
• ρ = 1 ;
• f(x) est la somme pour 0 < x < 1.
• an = 1/[n(n + 1)] ;
• ρ = 1 ;
• f(x) est la somme pour 0 < x < 1.
1. La décomposition 1/[n(n + 1)] = 1/n − 1/(n + 1) donne : .
2. Lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures, le produit (x−1 − 1) ln(1 − x) tend vers zéro. Ainsi, f(x) tend vers 1.
3. La condition sur les coefficients vaut n an = 1/(n + 1), qui tend vers zéro. Le théorème donne donc une somme au bord égale à 1.
4. Un contrôle direct est possible : les sommes partielles se télescopent et valent SN = 1 − 1/(N + 1). Elles tendent bien vers 1. Les deux hypothèses conduisent ainsi à la même valeur que le calcul direct.
In practice
Pour établir une convergence au bord, on peut d'abord calculer la fonction somme à l'intérieur du disque et sa limite. Le théorème de Tauber devient utile lorsque la série au bord résiste aux manipulations directes.
On examine ensuite la quantité n an ρn. Si elle tend vers zéro, la limite intérieure fournit la somme cherchée. Si ce test échoue, il faut revenir à un critère adapté aux signes ou à la taille des termes.
Le résultat sert aussi à distinguer deux questions : une fonction peut avoir une limite au bord sans que la série correspondante y converge. La décroissance des coefficients est le contrôle supplémentaire décisif.
Not to be confused with
Avec le théorème d'Abel sur les séries entières. Abel part de la convergence de la série au bord pour obtenir la limite intérieure. Tauber remonte dans l'autre sens, mais exige la condition sur n an ρn.
Avec le rayon de convergence. Le rayon indique où la série converge à l'intérieur ; il ne décide pas, à lui seul, ce qui se passe sur le bord. Deux séries de même rayon peuvent s'y comporter différemment.
Limits and pitfalls
La condition est suffisante, non nécessaire. La série alternée de terme (−1)n−1/n converge, alors que n an alterne entre −1 et 1. Son échec interdit seulement d'invoquer ce théorème.
La limite intérieure ne remplace pas la convergence. Pour an = (−1)n, avec n ≥ 1, au rayon 1, f(x) tend vers −1/2, mais les termes de la série au bord ne tendent même pas vers zéro. Il faut contrôler les coefficients.
Le sens d'approche compte. L'énoncé utilise x tendant vers le rayon positif ρ depuis l'intérieur, donc x < ρ. Une autre approche complexe du bord n'est pas couverte par cette formulation.
Further reading
série entière — Retrouvez l'objet auquel le théorème s'applique et la manière dont ses coefficients définissent une fonction.
Rayon de convergence — Situez précisément le bord où la convergence n'est plus décidée par le comportement intérieur.
convergence d'une série numérique — Replacez la conclusion du théorème parmi les critères usuels portant sur les sommes partielles.
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