Unipotent matrix

Imaginez une transformation dont les directions propres sont associées au facteur 1, mais qui peut faire glisser certains vecteurs le long de directions généralisées. Sa matrice est unipotente. Elle ressemble donc à l’identité, mais elle n’est pas nécessairement immobile.

La différence entre cette matrice et l’identité finit par s’annuler lorsqu’on la compose assez de fois avec elle-même. C’est cette partie temporaire, dite nilpotente, qui porte le glissement.

Soit A une matrice carrée de taille n sur un corps. On dit que A est unipotente lorsque son polynôme caractéristique est $(X-1{)}^n(X-1)^n$. Autrement dit, dans une clôture algébrique du corps de départ, toutes les valeurs propres de A sont égales à 1. Cette formulation évite de supposer que le corps contient déjà toutes les valeurs propres.

La lettre I désigne la matrice identité de même taille que A. La condition précédente équivaut à la nilpotence de la différence N = A − I : il existe un entier positif r tel que $N^r=0N^r=0$. Ainsi, toute matrice unipotente s’écrit A = I + N avec N nilpotente, et réciproquement. En taille n, on peut toujours prendre r inférieur ou égal à n.

Sur un corps où le polynôme caractéristique se scinde, la forme de Jordan de A ne comporte que des blocs de valeur propre 1. La taille de ses blocs mesure combien de puissances de A − I sont nécessaires avant d’obtenir la matrice nulle.

Une matrice unipotente réunit quatre éléments liés. La matrice carrée A décrit la transformation. La matrice identité I conserve tous les vecteurs. Leur différence N = A − I isole la partie nilpotente. Enfin, l’indice de nilpotence est le plus petit entier positif r pour lequel la puissance r-ième de N est nulle.

Les valeurs propres de A se déduisent de celles de N en leur ajoutant 1. Une base formée de chaînes de Jordan, dont les vecteurs sont envoyés successivement vers zéro par N, détermine les blocs de Jordan de A. Ces données suffisent à vérifier l’unipotence et à mesurer l’écart structurel à l’identité; la couleur ou la disposition visuelle d’une matrice n’y joue aucun rôle.

On considère une matrice carrée A de taille 3, la matrice identité I de même taille et leur différence N. Les données sont :

1. On soustrait I à A :

2. On calcule les puissances successives de N :

3. Comme N³ est nulle alors que N² ne l’est pas, N est nilpotente d’indice 3. Par conséquent, A est unipotente. Un contrôle indépendant consiste à lire sa diagonale : A est triangulaire supérieure et ses trois valeurs propres sont donc 1.

Pour reconnaître une matrice unipotente, on soustrait d’abord l’identité, puis on élève la différence à des puissances successives. Dès qu’une puissance devient nulle, le critère est satisfait. Pour une matrice triangulaire, lire la diagonale donne un premier contrôle plus rapide, mais ne remplace pas toujours la vérification structurelle.

Dans un calcul de forme de Jordan, l’unipotence signale que tous les blocs sont centrés sur la valeur propre 1. Les noyaux successifs de A − I permettent alors de retrouver le nombre et la taille des blocs.

Dans l’étude d’un groupe de matrices, on vérifie séparément l’unipotence de chaque élément. Si l’on veut un ensemble stable par produit, il faut aussi contrôler sa structure de groupe; l’unipotence de deux facteurs ne suffit pas à elle seule.

Matrice nilpotente. Ses valeurs propres sont toutes égales à 0, tandis que celles d’une matrice unipotente valent toutes 1. Dans l’exemple, N est nilpotente et A = I + N est unipotente.

Matrice identité. L’identité est unipotente, mais une matrice unipotente peut comporter une partie nilpotente non nulle. La matrice A de l’exemple tranche : elle est unipotente et diffère de I.

Matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres valent 1. Une telle matrice est nécessairement l’identité. Une matrice unipotente non égale à l’identité, comme A dans l’exemple, possède au moins un bloc de Jordan non trivial et n’est donc pas diagonalisable.

Le produit est un piège. Deux matrices unipotentes quelconques peuvent avoir un produit non unipotent. Sur le corps des nombres réels, considérons les deux cisaillements suivants :
Les matrices U et V sont unipotentes, mais le produit UV a pour trace 3 et n’a donc pas ses deux valeurs propres égales à 1. Il faut établir séparément la stabilité par produit. Les matrices triangulaires supérieures unipotentes de taille fixée forment, elles, un sous-groupe.

Le corps de base compte. Dire seulement que « toutes les valeurs propres valent 1 » suppose que les valeurs propres ont été examinées dans un corps où le polynôme caractéristique se scinde. Le critère non ambigu est que ce polynôme soit (X − 1)ⁿ, ou que A − I soit nilpotente.

La diagonale ne suffit pas toujours. Pour une matrice triangulaire, une diagonale composée uniquement de 1 prouve l’unipotence. Pour une matrice quelconque, les coefficients diagonaux ne coïncident pas nécessairement avec ses valeurs propres; il faut calculer le polynôme caractéristique ou tester la nilpotence de A − I.

La fiche matrice nilpotente approfondit la partie N = A − I et le mécanisme par lequel ses puissances finissent par s’annuler.

La fiche valeur propre précise le sens des valeurs conservées par une transformation et leur lecture dans une matrice triangulaire.

La fiche Groupe linéaire situe les matrices inversibles dans la structure où apparaissent les éléments et sous-groupes unipotents.