Van Schooten's ellipsograph
L'ellipsographe de van Schooten est un dispositif mécanique permettant de tracer des ellipses. Il est basé sur la propriété suivante : si l'on prend un segment de longueur fixe dont les deux extrémités glissent sur deux droites perpendiculaires, alors tout point du segment décrit une ellipse. Ce mécanisme simple illustre la définition d'une ellipse comme courbe d'équation cartésienne (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1, et a une importance historique dans la géométrie cinématique.
Contents
What you will learn
- Identifier les pièces et les conditions du mécanisme.
- Relier les deux portions du segment aux demi-axes de l'ellipse.
- Vérifier une position du point traceur par un calcul exact.
- Reconnaître les cas du cercle, du tracé dégénéré et de l'arc incomplet.
In plain terms
Imaginez une règle rigide dont chaque extrémité coulisse dans une rainure : l'une est horizontale, l'autre verticale. Quand on déplace la règle sans changer sa longueur, un crayon fixé entre ses extrémités suit une courbe fermée. Cette courbe est une ellipse.
La structure matérielle rend le mouvement lisible : deux coulisseaux guident la règle, tandis que le point traceur reste au même endroit sur celle-ci. Sa position partage la règle en deux longueurs constantes ; ces deux longueurs deviennent les demi-axes de l'ellipse.
Definition
L'ellipsographe de Van Schooten est un mécanisme de tracé formé par un segment rigide de longueur fixe. Une extrémité, notée A, glisse sur une droite horizontale ; l'autre, notée B, glisse sur une droite verticale perpendiculaire à la première. Un point traceur P est fixé sur le segment. Les distances de P à A et de P à B restent donc constantes pendant le mouvement.
Dans un repère dont l'origine est l'intersection des deux glissières, les coordonnées du point P sont notées x et y. La longueur PB est notée a et la longueur AP est notée b. Lorsque les deux extrémités peuvent parcourir les deux sens de leurs droites, P décrit l'ellipse centrée à l'origine d'équation :
Les demi-axes de l'ellipse valent donc a et b, mais chacun correspond à la distance située de l'autre côté de P sur le segment. La perpendicularité des glissières, la longueur fixe du segment et la fixation de P sont indispensables à cette équation. Si les coulisseaux ne parcourent qu'une partie de leurs glissières, le mécanisme ne trace qu'un arc de la même ellipse.
A step-by-step example
Données.
Le segment AB mesure 10 unités. Le point traceur P est fixé de sorte que AP mesure 4 unités et PB mesure 6 unités. À l'instant observé, A a pour coordonnées (8 ; 0) et B a pour coordonnées (0 ; 6).
Le segment AB mesure 10 unités. Le point traceur P est fixé de sorte que AP mesure 4 unités et PB mesure 6 unités. À l'instant observé, A a pour coordonnées (8 ; 0) et B a pour coordonnées (0 ; 6).
1. Les extrémités respectent bien la longueur imposée, car . Le point P se trouve aux quatre dixièmes du trajet de A vers B.
2. Ses coordonnées valent donc et .
3. Comme PB vaut 6 et AP vaut 4, l'ellipse attendue a pour équation :
4. Le contrôle donne . Le point P appartient exactement à l'ellipse de demi-axe horizontal 6 unités et de demi-axe vertical 4 unités. Le même contrôle peut être refait pour chaque position des coulisseaux.
In practice
Pour tracer matériellement une ellipse, on choisit d'abord ses deux demi-axes. Le point traceur est placé sur le segment de façon que PB donne le demi-axe horizontal et AP le demi-axe vertical. Ce mécanisme est adapté lorsqu'un tracé continu est recherché ; un placement point par point convient mieux si seules quelques coordonnées doivent être contrôlées.
En classe, déplacer le segment permet de relier un geste mécanique à une équation cartésienne. On mesure les deux portions séparées par le crayon, puis on vérifie sur plusieurs positions que les coordonnées satisfont toujours la même équation.
Pour obtenir seulement un arc, il suffit de limiter la course des coulisseaux. Si une ellipse entière est nécessaire, chaque extrémité doit pouvoir franchir l'intersection des glissières et poursuivre sa course dans les deux sens.
Not to be confused with
L'ellipsographe et l'ellipse. L'ellipsographe est le dispositif mobile ; l'ellipse est la courbe laissée par son point traceur. Si l'objet considéré possède des coulisseaux et un segment rigide, il s'agit du mécanisme, non de son tracé.
Un compas ordinaire. Un compas maintient le point traceur à distance constante d'un centre et dessine un cercle. Ici, le point traceur est lié à deux extrémités guidées sur des droites perpendiculaires ; lorsque ses deux distances aux extrémités diffèrent, les deux demi-axes obtenus diffèrent aussi.
Limits and pitfalls
Point traceur au milieu. Si P partage un segment de 10 unités en deux portions de 5 unités, les deux demi-axes valent 5 : la courbe obtenue est un cercle, cas particulier de l'ellipse. Il ne faut pas conclure que le mécanisme a cessé de fonctionner.
Point traceur à une extrémité. L'un des demi-axes devient nul. Le tracé s'aplatit sur une glissière et n'est plus une ellipse non dégénérée. Pour obtenir une véritable ellipse, P doit rester strictement entre A et B.
Course incomplète. Des butées peuvent empêcher les coulisseaux de parcourir leurs droites dans les deux sens. Le tracé s'interrompt alors avant de se refermer. Il faut prolonger les glissières ou reconnaître que seule une portion de l'ellipse est accessible.
Point qui glisse sur le segment. La propriété concerne un point fixé à une position déterminée du segment. Si le crayon se déplace le long de la règle pendant le mouvement, ses distances à A et B varient et une unique équation d'ellipse n'est plus garantie.
Illustrations
Further reading
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