Viviani's theorem

Tracez un triangle équilatéral et placez un point n’importe où à l’intérieur. Depuis ce point, abaissez trois segments perpendiculaires, un vers chaque côté. Leurs longueurs changent lorsque le point se déplace.

Pourtant, leur somme ne change jamais : elle vaut toujours la hauteur du triangle. Si le point se rapproche d’un côté, la distance à ce côté diminue, mais les deux autres compensent exactement cette diminution.

Le théorème de Viviani est une propriété des triangles équilatéraux. Considérons un triangle équilatéral de côté a et de hauteur h. Pour un point P situé à l’intérieur, notons d₁, d₂ et d₃ les longueurs des perpendiculaires menées de P aux trois côtés. Ces trois distances sont non négatives et leur somme vaut h, quel que soit P.

Cette invariance se lit par les aires. En reliant P aux trois sommets, le grand triangle est partagé en trois petits triangles, tous de base a. La somme de leurs aires vaut donc la moitié de a multipliée par la somme des trois distances. Elle vaut aussi la moitié de a multipliée par h. Comme a est strictement positif, on obtient l’égalité annoncée.

Après division par h, les trois rapports d₁/h, d₂/h et d₃/h sont compris entre 0 et 1 et ont pour somme 1. Cette normalisation explique le lien avec les diagrammes ternaires, où un point code trois composantes de total constant.

Si P est un point intérieur à un triangle équilatéral de hauteur h, et si d₁, d₂ et d₃ sont les distances perpendiculaires de P aux trois côtés, alors :

La valeur commune ne dépend pas de la position de P. Pour un triangle de côté a, la hauteur vaut $h=\frac{\sqrt{3}}{2}ah=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}a$.

Le triangle doit être équilatéral et non dégénéré, et P doit se trouver à l’intérieur. Chaque distance est la longueur du plus court segment entre P et le côté correspondant : ce segment est perpendiculaire à la droite qui porte le côté. Les trois longueurs et la hauteur doivent être exprimées dans la même unité.

Dans un triangle non équilatéral, les trois petits triangles n’ont plus la même base. La simple somme des distances varie alors en général avec P. Il faut conserver la relation pondérée par les longueurs des côtés, issue de l’addition des trois aires, plutôt que d’appliquer le théorème de Viviani.

Prenons un triangle équilatéral de côté 10 cm. Un point intérieur P est à 2 cm d’un premier côté et à 3 cm d’un deuxième. Le schéma matérialise les trois segments perpendiculaires et leurs longueurs cohérentes avec ces données.

1. La hauteur h d’un triangle équilatéral de côté 10 cm est :

2. Appelons d₃ la distance au troisième côté. Le théorème donne :

3. Cette distance vaut environ 3,66 cm. Elle est positive et inférieure à la hauteur, ce qui est cohérent avec un point intérieur.

4. Le contrôle exact redonne bien la hauteur :

Pour retrouver une distance manquante dans un triangle équilatéral, on calcule la hauteur puis on retranche les deux distances connues. Un calcul direct par coordonnées reste préférable si le triangle n’est pas équilatéral.

En statistique, un diagramme ternaire place trois composantes de somme constante dans un triangle. Après normalisation, les distances aux côtés indiquent les parts associées ; un graphique ordinaire convient mieux lorsque les trois valeurs n’ont pas un total commun.

En géographie, le même principe permet de situer un cas selon trois composantes de total fixé. Le diagramme triangulaire est pertinent si seules leurs proportions importent ; des cartes ou graphiques séparés conservent mieux des totaux variables.

Les distances de P aux côtés sont mesurées perpendiculairement aux droites qui portent ces côtés. Les distances de P aux trois sommets sont d’autres longueurs : leur somme n’est pas celle du théorème et n’est pas constante lorsque P se déplace.

La hauteur du triangle relie un sommet au côté opposé. Les trois segments issus de P mesurent, eux, des distances locales aux côtés. Chacun peut varier ; c’est seulement leur somme qui égale la hauteur.

Point sur un côté. Une distance devient exactement nulle. L’égalité se prolonge au bord du triangle, mais ce cas n’est plus strictement intérieur ; il faut l’annoncer comme un cas limite.

Point extérieur. La somme des trois distances ordinaires aux côtés n’est plus constamment égale à h. Le découpage en trois aires intérieures ne fonctionne plus tel quel ; il faut employer des aires ou distances signées avec une convention explicite.

Triangle presque équilatéral. Même un petit écart entre les longueurs des côtés supprime l’invariance exacte. Avec des mesures réelles, une somme seulement proche d’une hauteur doit être jugée selon la précision des instruments, et non remplacée par une égalité.

Mauvais segment. Un segment oblique allant de P à un côté est plus long que la distance à ce côté. Il faut tracer ou mesurer la perpendiculaire avant d’additionner les trois longueurs.

La fiche coordonnées barycentriques montre comment trois coefficients de somme 1 repèrent un point dans un triangle.

La preuve par les aires suggère une généralisation utile : dans un triangle quelconque, les distances aux côtés restent liées, mais chacune est pondérée par la longueur du côté correspondant. L’équilatéral est précisément le cas où ces trois poids sont égaux.