Vincenzo Viviani
Vincenzo Viviani est un mathématicien, astronome et physicien italien connu pour deux résultats géométriques. Son théorème affirme que, dans un triangle équilatéral, la somme des distances perpendiculaires d’un point intérieur aux trois côtés égale la hauteur ; sa courbe répond au problème de rendre quarrable la surface restante d’une coupole hémisphérique percée de quatre ouvertures.
Contents
What you will learn
- Situer Vincenzo Viviani dans la science florentine du XVIIe siècle.
- Énoncer le théorème de Viviani et vérifier sa formule sur un triangle de côté 6.
- Distinguer le théorème de la courbe, ou fenêtre, de Viviani.
- Interpréter correctement la mesure de 350 m/s et le terme quarrable.
In plain terms
À Florence, en 1660, Vincenzo Viviani mesure avec Giovanni Borelli la vitesse du son et obtient 350 m/s. Ce savant italien, né en 1622, travaille aussi en géométrie dans le sillage de Galilée et de son ami Torricelli.
Son nom reste attaché à une propriété surprenante du triangle équilatéral : depuis n’importe quel point intérieur, les trois distances aux côtés ont toujours la même somme. Il désigne aussi une courbe liée au percement de quatre ouvertures dans une coupole hémisphérique.
Definition
Vincenzo Viviani (1622-1703) est un mathématicien, astronome et physicien italien né à Florence, où il exerce toute sa carrière. Disciple de Galilée et ami de Torricelli, il poursuit leurs travaux. Avec Giovanni Borelli, il obtient en 1660 une mesure de la vitesse du son égale à 350 m/s, plus précise que celle de Gassendi. Il est également l’auteur d’un traité sur les coniques.
Le théorème de Viviani concerne un point placé à l’intérieur d’un triangle équilatéral. Si les trois distances perpendiculaires de ce point aux côtés sont notées d1, d2 et d3, et si h désigne la hauteur du triangle, alors :
La courbe de Viviani, aussi appelée fenêtre de Viviani, répond à un autre problème. Il s’agit de percer quatre ouvertures dans une coupole hémisphérique de façon que la surface restante soit quarrable, donc égale à l’aire d’un carré constructible. Le théorème et la courbe sont deux résultats distincts portant le même nom.
A step-by-step example
On considère un triangle équilatéral de côté 6 et son centre P. Les trois données sont la longueur 6, le point intérieur P et les perpendiculaires menées de P aux trois côtés. Par symétrie, ces trois distances sont égales.
1. La hauteur h du triangle se calcule avec le théorème de Pythagore :
2. Sur une hauteur, le centre est à une distance h/3 de la base et 2h/3 du sommet. Par symétrie, chacune des trois distances de P aux côtés vaut donc .
3. Leur somme fournit le contrôle annoncé par le théorème :
Le résultat est exact et s’exprime dans la même unité que le côté. La figure rend visibles les trois segments perpendiculaires utilisés dans ce calcul.
In practice
Dans un exercice sur un triangle équilatéral, le théorème de Viviani évite de calculer séparément trois distances. Dès que le point est intérieur et que les distances sont prises perpendiculairement aux côtés, leur somme est directement la hauteur.
Pour contrôler un résultat numérique, on calcule la hauteur à partir du côté, puis on additionne les trois distances mesurées dans la même unité. Si le triangle n’est pas équilatéral, cette comparaison n’est plus le bon outil.
Dans un texte historique, le contexte tranche entre les deux héritages géométriques. La mention d’un triangle et de distances renvoie au théorème ; celle d’une coupole, d’ouvertures et d’une aire quarrable renvoie à la fenêtre de Viviani.
Not to be confused with
Le théorème de Viviani et la courbe de Viviani. Le premier porte sur la somme de trois distances dans un triangle équilatéral. La seconde, aussi appelée fenêtre de Viviani, intervient dans un problème d’ouvertures pratiquées dans une coupole hémisphérique.
Une longueur et une aire. Dans le théorème, la somme obtenue est une longueur : la hauteur du triangle. Dans le problème de la coupole, « quarrable » qualifie une surface dont l’aire égale celle d’un carré constructible ; ce mot ne décrit pas la forme des ouvertures.
Limits and pitfalls
Le théorème cité suppose un triangle équilatéral et un point intérieur. La seule présence de trois côtés ne suffit pas. Dans un triangle quelconque, les trois distances aux côtés n’ont pas, en général, une somme égale à l’une de ses hauteurs.
Une distance à un côté se mesure sur la perpendiculaire à la droite qui porte ce côté. Un segment oblique reliant le point au côté est plus long et fausse le contrôle ; il faut donc construire ou mesurer le pied de la perpendiculaire.
La valeur de 350 m/s obtenue en 1660 est un résultat de mesure, pas une identité mathématique. Elle doit être lue comme la valeur fournie par l’expérience de Viviani et Borelli, dont la source souligne la précision supérieure à celle de Gassendi.
Dans le problème de la fenêtre de Viviani, une surface quarrable possède l’aire d’un carré constructible. En déduire que la surface restante ou les quatre ouvertures sont elles-mêmes carrées serait un contresens.
Further reading
Le parcours de Viviani se replace dans son milieu scientifique avec Galilée, dont il fut le disciple, et Torricelli Evangelista, présenté dans la source comme son ami. Ces deux lectures éclairent les travaux que Viviani a prolongés à Florence.
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