abscissa
Sur une droite orientée munie d'une origine O et d'une unité de longueur, tout point A est caractérisé par la mesure algébrique du vecteur OA, appelée abscisse de A. Le point O est l'origine des abscisses. Dans le plan ou l'espace rapportés à un repère cartésien, l'abscisse d'un point M est sa première coordonnée, traditionnellement notée x.
Contents
What you will learn
- Relier l’abscisse à une origine, une orientation et une unité.
- Lire et contrôler l’abscisse −3 sur une droite graduée.
- Identifier l’abscisse comme première coordonnée dans un repère cartésien.
- Distinguer l’abscisse de l’ordonnée, de la distance à l’origine et de l’abscisse curviligne.
In plain terms
Imaginez une droite graduée comme une règle qui se prolonge dans les deux sens. Le zéro fixe l’origine et une flèche indique le sens positif. Chaque point reçoit alors un nombre qui donne sa position : son abscisse.
Le point A placé trois graduations à gauche de zéro a pour abscisse −3. À droite, son abscisse serait positive. Dans un repère du plan, la même idée fournit la première des deux coordonnées, celle qui situe le point horizontalement.
Definition
L’abscisse est le nombre qui repère un point sur une droite orientée. Pour la définir, il faut choisir une origine O, un sens positif et une unité de longueur. Pour un point A, la mesure algébrique du vecteur allant de O vers A est l’abscisse de A. Elle tient compte de la distance en unités et du sens du déplacement.
L’origine a pour abscisse 0. Dans le sens positif, les abscisses sont positives ; dans le sens opposé, elles sont négatives. Deux points distincts d’une même droite graduée ont des abscisses distinctes. Réciproquement, chaque nombre réel repère un unique point lorsque la droite, l’origine, l’orientation et l’unité sont fixées.
Dans un repère cartésien du plan, un point M est décrit par un couple ordonné. Sa première coordonnée, traditionnellement notée x, est son abscisse ; la seconde est son ordonnée. Dans l’espace, l’abscisse reste la première coordonnée. Sa valeur dépend toujours du repère choisi, et non du point seul.
A step-by-step example
Données.
La droite est orientée vers la droite.
L’origine O porte le nombre 0.
Deux graduations voisines sont séparées d’une unité.
Le point A se trouve trois graduations à gauche de O.
La droite est orientée vers la droite.
L’origine O porte le nombre 0.
Deux graduations voisines sont séparées d’une unité.
Le point A se trouve trois graduations à gauche de O.
1. De O à A, le déplacement couvre trois unités. La valeur absolue de l’abscisse est donc 3.
2. Le déplacement va dans le sens opposé à l’orientation choisie. Il reçoit donc le signe moins.
3. L’abscisse du point A, notée xA, vaut −3. Dans un repère du plan, si son ordonnée vaut 2, le point s’écrit A(−3 ; 2).
Résultat. A est repéré horizontalement par l’abscisse −3. La figure matérialise les trois intervalles unitaires et le sens positif qui déterminent ce signe.
Contrôle. En partant de A et en avançant de trois unités dans le sens positif, on atteint O. Le calcul −3 + 3 = 0 confirme la lecture.
In practice
Sur une droite graduée, l’abscisse sert à annoncer une position sans mesurer à nouveau le dessin. On compte les unités depuis l’origine et on attribue le signe indiqué par l’orientation. Si aucun sens n’est indiqué, il faut d’abord en choisir un.
Pour placer A(−3 ; 2) dans un repère, on repère d’abord −3 sur l’axe horizontal, puis on rejoint le niveau 2 selon la direction du second axe. Une abscisse seule suffit sur une droite, mais pas pour localiser un point quelconque du plan.
Sur le graphique d’une fonction, on lit l’abscisse sur l’axe associé à la variable x. Pour retrouver l’entrée correspondant à un point de la courbe, on le projette selon la direction de l’autre axe. Si l’on cherche la sortie, on lit plutôt l’ordonnée.
Not to be confused with
Abscisse et ordonnée. Dans un couple cartésien, l’ordre tranche : l’abscisse est la première coordonnée et l’ordonnée la seconde. Pour A(−3 ; 2), l’abscisse vaut −3, pas 2.
Abscisse et distance à l’origine. Une distance est toujours positive ou nulle, tandis qu’une abscisse peut être négative. Le point A d’abscisse −3 est à trois unités de O : sa distance à O vaut 3.
Abscisse cartésienne et abscisse curviligne. La première est une coordonnée portée par un axe. La seconde mesure une position le long d’une courbe orientée. Sur une courbe, la longueur parcourue ne se déduit donc pas de la seule coordonnée x.
Limits and pitfalls
Le repère fait partie de la donnée. Si l’on inverse le sens de la droite sans déplacer A ni changer l’unité, son abscisse −3 devient 3. Une valeur annoncée sans origine, orientation et unité ne suffit donc pas à reconstruire la position.
Zéro est le cas charnière. Le point d’abscisse 0 est exactement l’origine. Son abscisse n’est ni positive ni négative ; il ne faut pas déduire un côté de la droite à partir du seul mot « nul ».
Une première coordonnée n’est pas toujours une direction horizontale sur la page. Cette lecture dépend du tracé du repère. Il faut suivre le premier axe et son orientation, même si le dessin a été tourné.
Le signe ne donne pas une longueur. Pour A d’abscisse −3, les trois unités indiquent l’éloignement à O et le signe indique le côté orienté. Employer −3 comme distance produirait une grandeur impossible.
Further reading
Changer de repère conduit à distinguer le point géométrique de ses coordonnées. Lorsque seule l’origine est déplacée de deux unités dans le sens positif, l’ancien point A d’abscisse −3 reçoit l’abscisse −5 dans le nouveau repère, si l’orientation et l’unité restent inchangées.
Cette dépendance au repère prépare l’étude des changements de coordonnées. Dans le plan et dans l’espace, une même position peut être décrite par plusieurs listes de nombres, chacune relative à une origine et à des axes déterminés.
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