Wallis formula
Formule établie en 1652 par le mathématicien anglais John Wallis, qui exprime π sous la forme d'un produit infini. Elle s'écrit : π/2 = ∏(n≥1) [4n² / (4n²−1)], ou de manière développée : π/2 = (2/1) · (2/3) · (4/3) · (4/5) · (6/5) · (6/7) · (8/7) · (8/9) · … Il s'agit de l'une des premières représentations de π par un produit infini de nombres rationnels, et elle occupe une place historique importante dans l'analyse mathématique. Elle peut être obtenue par intégration des puissances du sinus ou encore comme cas limite de certains coefficients binomiaux.
Contents
What you will learn
- Lire la formule de Wallis comme la limite de produits partiels rationnels.
- Calculer les quatre premières approximations de π avec des fractions exactes.
- Contrôler l'index initial, le facteur 2 et le statut d'une troncature finie.
- Situer l'origine historique et les deux voies d'obtention citées par la source.
In plain terms
Multipliez 4/3, puis 16/15, puis 36/35, puis 64/63. Chaque nouvelle fraction est un peu supérieure à 1 : le résultat augmente, mais par pas de plus en plus petits. Après quatre facteurs, le produit vaut environ 1,4861.
La formule de Wallis affirme qu'en poursuivant ce geste sans fin, ces produits se rapprochent de π/2. En les doublant, on obtient donc des approximations de π : 2,6667 avec un facteur, puis 2,8444, 2,9257 et 2,9722 avec quatre facteurs.
Definition
La formule de Wallis est une identité qui représente π/2 par un produit infini de nombres rationnels. L'indice n parcourt les entiers positifs. Au rang n, le facteur est le quotient de 4n² par 4n² − 1.
Cette identité s'écrit . Comme 4n² − 1 = (2n − 1)(2n + 1), chaque facteur peut aussi être séparé en deux fractions. On retrouve alors la forme développée (2/1) · (2/3) · (4/3) · (4/5) · …
Pour donner un sens calculable à l'infini, on note PN le produit arrêté après N facteurs. La formule signifie que la limite de PN, lorsque l'entier positif N grandit sans borne, est π/2. Elle appartient à l'histoire de l'analyse : John Wallis l'a établie en 1652, et la source indique deux voies d'obtention, par les intégrales de puissances du sinus ou par un cas limite de coefficients binomiaux.
The principle
Pour tout entier positif N, on forme le produit partiel PN avec les facteurs d'indices 1 à N :
Ainsi, 2PN fournit une approximation de π. Le nombre N indique le point d'arrêt du calcul ; l'égalité exacte avec π ne porte pas sur un produit fini, mais sur la limite de toute la suite des produits partiels.
When to use it
Le produit est indexé par les entiers positifs : le premier facteur correspond à n = 1. Pour une approximation finie, il faut aussi choisir un entier positif N, calculer exactement les N facteurs, puis doubler leur produit si l'on vise π plutôt que π/2.
Deux contrôles sont immédiats. Le dénominateur 4n² − 1 ne s'annule pour aucun entier n, et chaque facteur retenu est supérieur à 1. Les produits partiels augmentent donc à mesure que N augmente.
Commencer à n = 0 est un contre-cas : le facteur obtenu vaut 0/(−1) = 0, et tout le produit devient nul. Il faut revenir à l'indice initial n = 1. De même, s'arrêter après quelques facteurs donne seulement une approximation ; pour une égalité exacte, il faut considérer la limite lorsque N tend vers l'infini.
A step-by-step example
Calculons une approximation de π avec N = 4. Les données sont les quatre indices 1, 2, 3 et 4, qui donnent successivement les facteurs 4/3, 16/15, 36/35 et 64/63.
1. Après le premier facteur, .
2. Avec le deuxième, .
3. Avec le troisième, .
4. Avec le quatrième, .
2. Avec le deuxième, .
3. Avec le troisième, .
4. Avec le quatrième, .
Le résultat à quatre facteurs est donc 2P4 ≈ 2,9722. Le graphique rassemble les quatre valeurs calculées et la valeur de π : il rend visibles leur croissance et le chemin qui reste à parcourir après ce calcul court.
Le contrôle se refait sans décimales : . Les deux derniers facteurs transforment bien le résultat du rang 2 en celui du rang 4. Comme chaque facteur ajouté dépasse 1, les valeurs 2P1, 2P2, 2P3 et 2P4 doivent être croissantes, ce que confirment les quatre décimaux.
In practice
Pour obtenir à la main une approximation rationnelle de π, choisissez un rang N, calculez PN, puis doublez le résultat. Le produit de Wallis convient pour voir une représentation historique se construire facteur après facteur. Si seuls des chiffres décimaux sont recherchés, la valeur π d'une calculatrice est l'alternative directe.
Pour vérifier un calcul, conservez les fractions jusqu'à la dernière étape. Cette écriture est préférable aux décimales lorsque le critère est de pouvoir contrôler chaque simplification. Dans l'exemple, 32768/11025 constitue le résultat exact avant l'arrondi 2,9722.
Pour étudier la formule plutôt que seulement calculer, observez les produits partiels. Leur progression relie une suite de nombres rationnels à une limite qui contient π. Pour passer à une démonstration, les alternatives signalées par la source sont les intégrales de puissances du sinus ou le passage à la limite de certains coefficients binomiaux.
Not to be confused with
La formule de Wallis est un produit infini convergeant vers π/2. Elle ne doit pas être confondue avec la formule de Leibniz, qui exprime π/4 par une somme alternée, ni avec une approximation décimale isolée de π. Dans un calcul tronqué, le rang N et le facteur 2 doivent donc rester explicites.
Limits and pitfalls
Oublier le facteur 2. Le produit de Wallis converge vers π/2, pas vers π. Si P4 vaut environ 1,4861, il faut calculer 2P4 pour obtenir l'approximation 2,9722 de π.
Prendre une troncature pour l'égalité. Quatre facteurs donnent 32768/11025, pas π. Le symptôme est un résultat qui change dès qu'un facteur est ajouté. Il faut annoncer le rang N et parler d'approximation tant que le produit reste fini.
Décaler l'indice initial. À n = 0, le facteur 4n²/(4n² − 1) vaut 0 et annule le produit. Ce résultat contredit immédiatement la cible π/2. L'indexation correcte commence à n = 1.
Arrondir chaque facteur trop tôt. Les facteurs se rapprochent de 1, si bien qu'un arrondi prématuré peut les transformer artificiellement en 1. Il faut multiplier les fractions exactes, puis arrondir seulement le produit final au nombre de décimales annoncé.
Further reading
Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) — Pour comparer le produit déterministe de Wallis à une autre manière d'approcher π.
Mnémotechnique pour le nombre π — Pour prolonger la rencontre avec π par une approche consacrée à ses chiffres.
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