Line integral
L'intégrale curviligne est l'intégrale d'un champ scalaire ou vectoriel le long d'une courbe. Pour un champ scalaire f et une courbe gamma paramétrée par gamma(t) sur [a, b], l'intégrale curviligne de première espèce est l'intégrale de f(gamma(t)) * ||gamma'(t)||dt. Pour un champ vectoriel F, l'intégrale curviligne de seconde espèce est l'intégrale de F(gamma(t)) · gamma'(t) dt et représente le travail du champ le long de la courbe. Le théorème de Green relie les intégrales curvilignes aux intégrales doubles.
Contents
What you will learn
- Distinguer les intégrales curvilignes de première et de seconde espèce.
- Calculer le travail d’un champ vectoriel sur une courbe paramétrée.
- Repérer l’effet de l’orientation et les conditions d’emploi du théorème de Green.
In plain terms
Imaginez une bille qui suit un rail courbe dans un courant. À chaque point du trajet, le courant possède une direction et une intensité. L’intégrale curviligne additionne les petites poussées exercées dans le sens du déplacement. Elle mesure ainsi le travail total du courant le long du rail.
Si l’on remplace le courant par une température, sans direction, l’addition tient plutôt compte de la longueur de chaque petit morceau de rail. Ce sont les deux lectures principales de la notion.
Definition
Une intégrale curviligne additionne les valeurs d’un champ le long d’une courbe paramétrée. On note γ(t) le point atteint au paramètre t, compris entre deux bornes a et b. Aux points où γ′(t) ≠ 0, la dérivée donne la direction et la vitesse du parcours. On suppose la courbe dérivable par morceaux et les champs suffisamment réguliers pour que les intégrales existent.
Pour un champ scalaire f, la première espèce pondère chaque valeur par l’élément de longueur : . Le facteur ‖γ′(t)‖ compense la vitesse de paramétrisation : pour une reparamétrisation admissible, monotone et sans répétition du trajet, changer la vitesse ne change pas le résultat. Le sens du parcours ne le change pas non plus.
Pour un champ vectoriel F, la seconde espèce additionne le produit du champ par le déplacement infinitésimal : . Elle représente notamment un travail. Inverser le sens de parcours change alors le signe. Dans le plan, sous les hypothèses usuelles sur le champ, le théorème de Green transforme l’intégrale le long d’un contour simple, fermé, régulier par morceaux et orienté positivement en une intégrale double sur la région entourée ; une orientation négative donne le signe opposé.
A step-by-step example
Une particule suit la parabole γ(t) = (t, t2) pour 0 ≤ t ≤ 1, dans le sens des t croissants. Le champ vectoriel est F(x, y) = (y, x). Les données sont donc la courbe γ, les bornes 0 et 1, son orientation et le champ F. La figure rend visibles le trajet, son sens, une tangente et un vecteur du champ.
1. La dérivée de la courbe vaut γ′(t) = (1, 2t).
2. Sur la courbe, le champ devient F(γ(t)) = F(t, t2) = (t2, t).
3. Le produit scalaire avec la direction du déplacement est (t2, t) · (1, 2t) = 3t2.
4. Le travail du champ est donc . Il vaut 1 unité de travail.
Le contrôle consiste à parcourir la même parabole en sens inverse : γ′ change de sens, donc le produit scalaire et l’intégrale changent de signe. Le résultat devient −1, avec la même valeur absolue.
In practice
Pour calculer le travail d’une force le long d’une trajectoire, on choisit l’intégrale de seconde espèce. Le signe du produit avec la tangente indique si la force aide ou contrarie localement le mouvement. Le même travail peut aussi s’écrire comme une intégrale sur le temps de la puissance instantanée F·v.
Pour cumuler une densité répartie sur un fil courbe, on emploie la première espèce. Le facteur ‖γ′(t)‖ convertit le paramètre en longueur parcourue. Une intégrale ordinaire sur l’axe des abscisses suffit plutôt lorsque le support est un intervalle droit et décrit directement par cette abscisse.
Pour un contour simple, fermé, régulier par morceaux et orienté positivement dans le plan, le théorème de Green peut remplacer un calcul le long du bord par une intégrale double sur la région intérieure, sous les hypothèses usuelles sur le champ. Une orientation négative change le signe. Ce choix est avantageux lorsque la région se décrit plus simplement que chacun de ses morceaux de frontière.
Not to be confused with
Intégrale simple sur un intervalle. Elle additionne des valeurs selon une variable réelle, tandis que l’intégrale curviligne suit une courbe dans le plan ou l’espace. Si le support est la parabole γ(t) = (t, t2), la géométrie du trajet doit apparaître dans l’intégrande.
Intégrale double. Elle additionne sur une région à deux dimensions, et non sur son seul bord. Le théorème de Green relie les deux calculs dans un cadre précis, mais ne les rend pas interchangeables sans vérifier le contour, son orientation et la régularité du champ.
Limits and pitfalls
Orientation oubliée. Pour une intégrale de seconde espèce, retourner le trajet retourne le signe. Dans l’exemple, le passage de t = 0 vers t = 1 donne 1, tandis que le trajet inverse donne −1. Il faut donc fixer le sens avant le calcul.
Vitesse confondue avec la courbe. Deux paramétrisations peuvent décrire le même tracé à des vitesses différentes. Il faut conserver ‖γ′(t)‖ dans la première espèce et γ′(t) dans la seconde : ces facteurs rendent le calcul cohérent avec le trajet géométrique.
Coin sur le trajet. Une dérivée unique peut manquer au point de raccord de deux arcs. Le symptôme est une tangente non définie à cet endroit. On découpe alors la courbe en morceaux dérivables et on additionne leurs intégrales.
Green appliqué trop vite. Un trajet ouvert n’entoure aucune région à laquelle appliquer directement la relation annoncée. Pour la formule standard, il faut d’abord vérifier que le contour est simple, fermé, régulier par morceaux et orienté positivement. Une orientation négative change le signe ; si les autres hypothèses manquent, on conserve l’intégrale curviligne paramétrée.
Further reading
Différentielle — Pour relier la variation locale d’une fonction aux formes que l’on peut intégrer le long d’une courbe.
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