Pour p premier, les nombres p-adiques, munis de l’addition et de la multiplication, ont une structure de corps. Ce n’est pas le cas avec un nombre non premier. Les nombres 10-adiques (ou décadiques) n’ont qu’une structure d’anneau. Ces nombres, qui s’écrivent de droite à gauche et peuvent comporter une infinité de chiffres à droite, sont aussi connus sous l’appellation de brenoms, soit « nombres » en verlan (cette appellation semble due aux ateliers MATh.en.JEANS). 

Un brenom s’écrit avec une infinité de chiffres à gauche. Les entiers naturels peuvent être considérés comme des brenoms si on leur adjoint une infinité de 0 à gauche de leur premier chiffre significatif. Ainsi, on peut écrire 2019 sous la forme …000 000 002 019. Un brenom peut comporter une virgule et un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule.

Les entiers 10-adiques munis de l’addition et de la multiplication sont munis d’une structure d’anneau unitaire commutatif non intègre (voir les pages précédentes). La somme et le produit de deux entiers 10-adiques ne dépendent pas de l’ordre des facteurs. L’élément unité de cet anneau est le brenom …000 000 001, ou plus simplement 1. L’anneau n’est pas « intègre » car il y existe des diviseurs de zéro (c’est-à-dire des brenoms non nuls tels que leur produit par un autre brenom non nul bien choisi peut donner 0). Ce ne serait pas le cas pour les nombres p-adiques avec p premier.

L’addition, la soustraction et la multiplication des brenoms s’effectuent comme avec des entiers ordinaires, sauf que l’écriture explicite complète des résultats n’y est pas toujours possible.

Exit le signe « moins » !

Tout brenom possède un opposé unique, mais contrairement aux ensembles habituels (entiers relatifs, nombres décimaux, réels, complexes…), on n’a pas besoin de signe « moins » pour écrire l’opposé d’un brenom.

Considérons l’addition suivante, dans laquelle chaque chiffre du second terme à partir du rang des dizaines est le complément à 9 du chiffre correspondant du premier terme.

Le brenom …43 938 721 544 et le brenom …56 061 278 456 sont donc opposés l’un de l’autre.

Quel est l’opposé du brenom …000 000 002 019 ?

Les diviseurs de zéro

Seuls les brenoms non nuls qui ne sont pas diviseurs de 0 possèdent un inverse, mais cet inverse peut ne pas être un « brenom entier ». D’une manière générale, les brenoms se terminant par un 5 ou par un chiffre pair ne possèdent pas d’inverse entier, mais ils peuvent posséder un inverse « à virgule » (avec un nombre fini de chiffres après la virgule).

Tous les brenoms ne possèdent pas d’inverse. En effet, certains sont des diviseurs de zéro et ne sont donc pas inversibles. Déterminer des brenoms diviseurs de zéro n’est pas chose aisée, mais cela peut se faire de proche en proche.

Par exemple :

12 × 25 = 300 ;

112 × 125 = 1 400 ;

2 112 × 3 125 = 6 600 000 ;

02 112 × 03 125 = 6 600 000 ;

002 112 × 203 125 = 429 000 000 ;

1 002 112 × 8 203 125 = 8 220 450 000 000, etc.

À vous de poursuivre cette exploration en trouvant des brenoms non nuls (et dont le dernier chiffre avant la virgule n'est pas 0) dont le produit possède un maximum de zéros avant la virgule !