caténoïde

Le caténoïde est la surface de révolution obtenue en faisant tourner une chaînette autour de son axe. Il s'agit de la plus simple des surfaces minimales non planes, c'est-à-dire d'une surface dont la courbure moyenne est nulle en chacun de ses points. Le caténoïde possède la propriété remarquable d'être la surface d'aire minimale dont le bord est constitué de deux cercles parallèles de même rayon, dont les centres sont alignés perpendiculairement aux plans de ces cercles. Cette propriété est mise en évidence par l'expérience des films de savon : en immergeant deux anneaux circulaires coaxiaux dans une solution savonneuse, le film qui se forme entre eux prend la forme d'un caténoïde, à condition que la distance entre les anneaux ne dépasse pas environ 0,66 fois leur diamètre commun ; au-delà de cette limite, le film se rompt. Le caténoïde est paramétrable à l'aide de fonctions hyperboliques et est lié à l'hélicoïde par une déformation isométrique continue. Il fut étudié par Euler dès 1740, dans le cadre de ses travaux fondateurs sur le calcul des variations.