activité de rangement

Quatre bandes de papier mesurent 14, 8, 11 et 5 cm. Les ranger de la plus courte à la plus longue revient à comparer leurs longueurs, puis à placer chaque bande avant celles qui sont plus longues.

Le résultat est une suite ordonnée : 5 cm, 8 cm, 11 cm, 14 cm. Le critère choisi est essentiel. Avec le critère « plus courte que », le sens du rangement est fixé ; avec un autre critère, le même ensemble d'objets pourrait être ordonné autrement.

Une activité de rangement organise des objets au moyen d'une relation d'ordre. Elle demande de choisir un critère de comparaison, comme la longueur, puis un sens, par exemple du plus court au plus long. Les objets sont comparés deux à deux selon ce même critère. Le résultat recherché est une organisation dans laquelle la position de chaque objet respecte l'ordre choisi.

Une relation d'ordre doit être cohérente : chaque objet se compare à lui-même ; si un premier objet précède un deuxième et que le deuxième précède aussi le premier, il s'agit du même objet ; enfin, si le premier précède le deuxième et le deuxième le troisième, le premier précède le troisième. Ces propriétés sont appelées respectivement réflexivité, antisymétrie et transitivité. Dans un ordre total, toute paire d'éléments est comparable. Dans un ordre partiel, certaines paires peuvent ne pas l'être ; un rangement en une seule file n'est alors pas toujours imposé.

Pour les bandes de 14, 8, 11 et 5 cm, l'ordre croissant des longueurs donne 5 ≤ 8 ≤ 11 ≤ 14. Ici, mesurer la longueur fournit un critère commun à toutes les bandes. Dans le langage courant, « ranger » peut aussi vouloir dire répartir des objets par catégories ; mathématiquement, cette opération relève plutôt d'un classement.

On dispose de quatre bandes, nommées A, B, C et D.
Données : A mesure 14 cm ; B mesure 8 cm ; C mesure 11 cm ; D mesure 5 cm.
Critère : la longueur.
Sens : de la plus courte à la plus longue.

1. Comparer D et B : 5 cm < 8 cm, donc D précède B.

2. Comparer C aux bandes déjà placées : 8 cm < 11 cm, donc C vient après B.

3. Comparer A à C : 11 cm < 14 cm, donc A vient après C.

Le rangement obtenu est D, B, C, A, soit 5 cm, 8 cm, 11 cm et 14 cm.

Le contrôle porte sur les voisines : 5 ≤ 8, 8 ≤ 11 et 11 ≤ 14. Ces trois comparaisons sont vraies ; par transitivité, l'ordre est cohérent pour toute la suite. La représentation des quatre bandes rend aussi visibles leurs longueurs croissantes selon la même échelle.

Avec des bandes, des baguettes ou des segments, on mesure une même grandeur puis on compare les valeurs. Le rangement convient lorsque l'on veut obtenir une progression, par exemple de la plus courte à la plus longue. Si l'on veut seulement réunir les objets par couleur, un classement par catégories est plus adapté.

Pour ordonner des nombres, on fixe le sens croissant ou décroissant, puis on vérifie les valeurs voisines. Le rangement est pertinent si chaque paire peut être comparée. Si certaines paires restent incomparables avec le critère retenu, il faut conserver un ordre partiel plutôt que forcer une file unique.

Avant de ranger des mesures, on vérifie qu'elles utilisent la même unité. Convertir d'abord les longueurs évite de prendre l'écriture numérique la plus grande pour la grandeur la plus grande.

Rangement et classement. Un rangement place les objets selon un ordre ; un classement les réunit selon des catégories. Mettre les bandes de 5, 8, 11 et 14 cm en file croissante est un rangement. Mettre ensemble les bandes rouges et, séparément, les bandes jaunes est un classement.

Égalité du critère. Deux bandes distinctes peuvent avoir la même longueur. La mesure seule ne fixe alors pas laquelle vient en premier. Elles sont ex æquo pour ce critère et peuvent être placées dans un ordre quelconque, sauf si une règle de départage supplémentaire est annoncée.

Comparaison impossible. Dans un ordre partiel, deux objets peuvent être incomparables. Le symptôme est qu'aucun des deux ne peut être placé avant l'autre selon la relation. Il faut représenter les dépendances de l'ordre partiel, et non inventer une suite unique.

Critère changeant. Comparer une paire par longueur et une autre par couleur ne définit pas, en général, une relation fondée sur un critère unique. Si une relation combine ainsi plusieurs critères, il faut vérifier séparément qu'elle est réflexive, antisymétrique et transitive.

Unités différentes. Les écritures 8 cm et 0,11 m ne se comparent pas correctement en regardant seulement 8 et 0,11. Après conversion, 0,11 m = 11 cm ; la bande de 8 cm est donc la plus courte.

La notion de relation d'ordre précise les propriétés qui rendent les comparaisons cohérentes et distingue ordre total et ordre partiel.