Flavius Josèphe

Dans une grotte, une quarantaine de compagnons auraient décidé de mourir plutôt que de se rendre. Selon son propre récit, Josèphe les aurait aidés à organiser un tirage au sort qui le laissa vivant avec un autre homme.

Le problème de Josèphe transforme ce récit en question de comptage : dans un cercle de personnes, on élimine régulièrement une personne selon une règle fixée. La difficulté consiste à prévoir qui sera le dernier survivant, sans confondre le récit historique, dont les détails sont discutés, avec le modèle mathématique abstrait.

Flavius Josèphe est un historien du Ier siècle de notre ère, issu d'une famille sacerdotale de Judée. Son nom hébreu est Yossef ben Mattityahou. Né à Jérusalem vers 37, il meurt à Rome vers 100 après avoir obtenu la citoyenneté romaine et rédigé ses œuvres historiques.

Le problème de Josèphe est le modèle combinatoire associé au tirage au sort que Josèphe rapporte pour l'épisode de la grotte. Dans le modèle général, des personnes sont disposées en cercle ; une position de départ et un pas de comptage sont fixés, puis une personne est désignée ou éliminée à chaque tour. Le comptage reprend après cette personne, jusqu'à ce qu'il n'en reste qu'une, ou jusqu'à obtenir la position recherchée.

Le résultat dépend du nombre initial de personnes, de la position de départ, du sens du comptage et de la convention choisie sur la personne comptée au premier rang. La forme mathématique n'est donc pas une transcription complète de l'épisode historique : elle isole une règle de désignation afin d'étudier systématiquement la position finale. Les œuvres de Josèphe restent par ailleurs une source majeure non chrétienne sur les conflits entre Rome et Jérusalem, même si leur fiabilité a été contestée.

Pour rendre la règle visible, considérons un exemple récréatif de sept positions numérotées de 1 à 7, disposées en cercle. Le comptage commence en 1 et le pas vaut trois : la troisième position comptée est retirée à chaque tour. Cet exemple illustre le modèle ; il ne prétend pas reconstituer le nombre exact de compagnons de l'épisode historique.

Données : sept positions ; départ en 1 ; sens horaire ; pas de trois ; le comptage reprend après la position retirée.

Le premier compte donne 1, 2, 3 : la position 3 est retirée.
Le tour suivant reprend en 4 et donne 4, 5, 6 : la position 6 est retirée.
Le comptage reprend en 7, puis 1, puis 2 : la position 2 est retirée.
Il reste 1, 4, 5 et 7 ; en reprenant après 2, les retraits suivants sont 7, puis 5, puis 1.
La position 4 reste seule : dans cette convention précise, le survivant est donc la position 4.

Le contrôle consiste à relire la ronde des positions restantes après chaque retrait : 1, 4, 5, 7 deviennent 1, 4, 5, puis 1, 4, puis 4. Une autre convention de départ ou de comptage peut produire une autre position finale.

Pour résoudre un petit problème de Josèphe à la main, on dessine les positions en cercle, on fixe clairement le départ et le pas, puis on barre chaque position au moment où elle est désignée. Cette liste circulaire évite de perdre le sens du comptage.

Pour un grand nombre de positions, une liste numérotée ou un programme permet de répéter la même règle sans erreur de décompte. La liste convient lorsque le nombre est petit ; une méthode algorithmique devient préférable lorsque les retraits sont nombreux.

Pour raconter l'épisode historique, on revient au texte de Josèphe et à son contexte romain. Le calcul combinatoire sert alors à comprendre une structure de tirage, tandis que la source historique sert à discuter le récit et sa fiabilité.

Le problème de Josèphe ne se confond pas avec un tirage au sort uniforme où chaque personne conserve la même chance à chaque tirage. Dans le modèle circulaire, la règle de comptage et la position de départ déterminent successivement les désignations. Un tirage réellement aléatoire ne permettrait pas de déduire une position finale unique à partir de ces seules données.

Il ne se confond pas non plus avec une biographie de Flavius Josèphe. Le nom désigne à la fois la personne historique et, par association avec son récit, un problème mathématique. Le critère qui tranche est la question posée : qui était l'historien relève de l'histoire ; quelle position reste après une règle circulaire relève de la combinatoire.

Le nombre « une quarantaine » ne fixe pas un effectif exact. Il décrit l'épisode de la source sans permettre de calculer une position finale précise. Il faut donc annoncer le nombre choisi avant tout calcul, comme les sept positions de l'exemple récréatif.

Le résultat change si le premier rang, le sens du cercle ou la reprise du comptage changent. Une position qui paraît survivre dans un dessin peut être différente après un décalage d'un rang. Il faut écrire la convention complète et vérifier chaque retrait dans l'ordre.

Le récit attribué à Josèphe ne fournit pas à lui seul une preuve que l'épisode s'est déroulé exactement selon le modèle mathématique. Le problème est une abstraction inspirée par ce procédé de désignation ; l'histoire de sa vie et l'évaluation de ses œuvres demandent une lecture critique.

L'article Une histoire hors du commun prolonge le versant historique et culturel de cette fiche. Il permet de replacer le récit de Josèphe dans une approche narrative, après avoir isolé ici la règle de comptage et ses conventions.