recherche opérationnelle

Un atelier doit décider combien de tables et d'étagères fabriquer avec huit heures de découpe et huit heures d'assemblage. Produire davantage d'un meuble laisse moins de temps pour l'autre. La recherche opérationnelle transforme ce choix en un modèle : elle chiffre les décisions possibles, les ressources disponibles et le résultat recherché.

Le calcul compare alors les choix autorisés et repère le meilleur selon le critère fixé, par exemple le gain total. La réponse reste liée au modèle : changer les horaires, les gains ou l'obligation de fabriquer des meubles entiers peut changer la décision.

La recherche opérationnelle est une discipline d'aide à la décision. Elle représente une situation réelle par un modèle mathématique, puis emploie une méthode adaptée pour chercher une décision optimale, ou la meilleure décision accessible quand un optimum exact ne peut pas être obtenu. Elle s'applique notamment à la finance, à la banque, à l'informatique, à la gestion de crise, à la logistique et à la politique.

Un modèle distingue les variables de décision, qui décrivent les choix, la fonction objectif, qui mesure ce que l'on veut maximiser ou minimiser, et les contraintes, qui délimitent les choix admissibles. Une formulation générale consiste à chercher une décision notée x qui optimise une valeur notée f(x) tout en respectant un ensemble de décisions admissibles noté X : ${\mathrm{optimiser}}_{x\in X}f(x)\backslash operatorname*\{optimiser\}\_\{x\; \backslash in\; X\}\; f(x)$.

L'optimisation mathématique traite directement l'objectif et les contraintes. La théorie des graphes décrit des réseaux et des parcours. Les probabilités représentent l'incertitude, tandis que la modélisation relie ces outils au problème réel. Le résultat n'est donc pas une recommandation absolue : il répond au critère, aux données et aux contraintes retenus.

Un atelier choisit combien de tables et d'étagères fabriquer. Les quantités sont entières et chaque poste dispose de 8 heures.

Les données sont :
• 8 heures de découpe et 8 heures d'assemblage ;
• 2 heures et 1 heure par table ;
• 1 heure et 2 heures par étagère ;
• 30 € par table et 20 € par étagère.

1. On note x les tables et y les étagères. Les contraintes sont $2x+y\le 82x+y\; \backslash leq\; 8$ et $x+2y\le 8x+2y\; \backslash leq\; 8$, avec x et y entiers positifs ou nuls.

2. Le gain total est $G=30x+20yG=30x+20y$ euros. Le domaine admissible respecte les deux limites.

3. Sans l'intégralité, les limites se croisent en $x=y=\frac{8}{3}x=y=\backslash frac\{8\}\{3\}$ et donnent $G=\frac{400}{3}\approx \mathrm{133,33}G=\backslash frac\{400\}\{3\}\; \backslash approx\; 133\{,\}33$ €. L'atelier ne fabrique pas ces fractions de meuble.

4. Le point entier (3 ; 2) utilise 8 heures de découpe et 7 heures d'assemblage. Son gain vaut 3 × 30 + 2 × 20 = 130 €.

Le contrôle compare les autres candidats pertinents du bord supérieur : (0 ; 4) rapporte 80 €, tandis que (2 ; 3) et (4 ; 0) rapportent chacun 120 €. Le meilleur plan entier est donc (3 ; 2), pour 130 €.

En logistique, un responsable répartit des livraisons entre des véhicules en tenant compte des capacités et des itinéraires. Une règle de priorité suffit pour quelques choix évidents ; un modèle devient préférable lorsque plusieurs contraintes se croisent et que leur effet global n'est plus visible.

En informatique, la recherche opérationnelle aide à ordonnancer des tâches sur des ressources limitées. Le geste concret consiste à choisir l'ordre et l'affectation qui réduisent un délai ou respectent une échéance, plutôt qu'à traiter systématiquement les tâches dans leur ordre d'arrivée.

En finance, dans la banque ou lors d'une gestion de crise, les décisions dépendent aussi de scénarios incertains. Les probabilités servent alors à représenter cette incertitude ; comparer plusieurs scénarios est plus pertinent qu'une optimisation fondée sur une seule prévision lorsque les résultats possibles diffèrent fortement.

Recherche opérationnelle et optimisation mathématique. L'optimisation fournit des méthodes pour maximiser ou minimiser une fonction sous contraintes. La recherche opérationnelle englobe aussi la construction du modèle et l'interprétation de la décision. Calculer le sommet optimal d'un programme linéaire relève de l'optimisation ; décider si ce programme représente correctement l'atelier relève de la recherche opérationnelle.

Recherche opérationnelle et théorie des graphes. Un graphe représente des objets reliés, comme des lieux et des routes. La recherche opérationnelle peut employer ce support pour choisir un parcours, mais tous ses problèmes ne sont pas des problèmes de graphes. Le critère est concret : si l'enjeu porte sur des relations de voisinage ou de parcours, le graphe est un outil ; le choix à effectuer reste le problème de décision.

Un modèle peut être irréalisable. Si les contraintes s'opposent, aucune décision admissible n'existe. Le symptôme n'est pas un mauvais optimum, mais l'absence de solution. Il faut alors vérifier les données, corriger une contrainte erronée ou assouplir explicitement une exigence.

L'optimum peut ne pas être unique. Deux décisions différentes peuvent produire exactement la même valeur de l'objectif. Il faut les conserver comme solutions optimales, puis employer un critère secondaire annoncé pour les départager ; un logiciel qui n'en affiche qu'une ne prouve pas l'unicité.

La relaxation continue peut proposer une décision impossible. Dans l'atelier, l'optimum continu vaut environ 2,67 tables et 2,67 étagères, alors que les quantités doivent être entières. Arrondir les deux valeurs à 3 violerait les deux limites, car 2 × 3 + 3 = 9 heures et 3 + 2 × 3 = 9 heures. Il faut résoudre le problème entier ; ici, le meilleur choix admissible est (3 ; 2).

Une donnée incertaine fragilise une réponse trop précise. Si le gain ou la durée change selon les circonstances, l'optimum calculé avec une valeur unique peut changer. Il faut tester la sensibilité de la solution ou représenter plusieurs scénarios avec leurs probabilités avant de conclure.

Optimisation linéaire — Pour approfondir le cas où l'objectif et les contraintes sont des expressions linéaires.

La programmation linéaire en nombres entiers — Pour étudier les décisions indivisibles, comme les meubles de l'exemple, sans arrondir une solution continue.