Smale Stephen

En 1958, Stephen Smale obtient un résultat qui heurte l'intuition : une sphère plongée dans l'espace tridimensionnel peut, en théorie, être retournée par une déformation régulière. La surface peut alors se traverser elle-même temporairement, mais sans former de plis ni se déchirer. Ce geste impossible à imaginer au premier regard donne une porte d'entrée dans son travail en topologie différentielle.

Smale a aussi relié la géométrie des espaces aux systèmes qui évoluent. Son fer à cheval est devenu un exemple canonique de chaos déterministe : une règle déterminée peut engendrer un comportement chaotique.

Stephen Smale est un mathématicien américain né en 1930. Son parcours scientifique couvre principalement la topologie différentielle et les systèmes dynamiques. Après un doctorat obtenu en 1957 à l'université du Michigan, sur les courbes régulières dans les variétés riemanniennes, il enseigne notamment à Berkeley et à Columbia, puis travaille dans des institutions à Hong Kong avant de revenir à Columbia.

En topologie, le retournement de la sphère de 1958 rend visible le caractère contre-intuitif de ses résultats. Il s'agit d'une éversion par une déformation régulière d'immersions : la sphère ne reste pas plongée à chaque instant, car les auto-intersections temporaires sont permises. En 1961, Smale démontre la conjecture de Poincaré dans les dimensions strictement supérieures à 4, puis généralise cette démonstration avec le théorème sur le h-cobordisme. La dimension 4 relève du résultat de Freedman, tandis que la dimension 3 est complétée par Gregory Perelman en 2003. Smale reçoit la médaille Fields en 1966.

Dans l'étude des systèmes dynamiques, il introduit le fer à cheval de Smale, exemple canonique de comportement chaotique déterministe. En 1998, il propose aussi dix-huit problèmes ouverts pour le XXIe siècle, dans l'esprit des problèmes de Hilbert. Son parcours comprend enfin un engagement contre la guerre du Vietnam et la constitution d'une importante collection de minéraux.

Prenons le résultat de Smale sur la conjecture de Poincaré. Les données sont trois domaines distincts : les dimensions strictement supérieures à 4, la dimension 4 et la dimension 3.

1. En 1961, Smale traite les dimensions strictement supérieures à 4.

2. Le cas de dimension 4 n'entre donc pas dans ce résultat ; la source l'attribue à Freedman.

3. Le cas de dimension 3 n'y entre pas davantage ; la source indique qu'il est complété par Gregory Perelman en 2003.

Le contrôle est immédiat : 3 et 4 ne sont pas strictement supérieurs à 4. La formule exacte à retenir n'est donc pas « Smale a résolu tous les cas », mais « Smale a démontré le résultat en dimensions supérieures à 4 ».

Prenons maintenant un second parcours, consacré au fer à cheval. On dessine une région rectangulaire et deux points très proches, puis on leur applique exactement la même transformation à chaque étape.

1. On étire la région dans une direction et on la comprime dans la direction perpendiculaire. L'écart entre les deux points peut alors être amplifié dans la direction de l'étirement.

2. On replie la région étirée en forme de fer à cheval et on la replace sur la région de départ. Deux bandes la traversent alors ; on peut noter, à chaque répétition, dans laquelle se trouve chacun des points.

3. On répète sans changer la règle. Si les deux points finissent par suivre des bandes différentes, leurs suites de positions se distinguent alors même que leurs départs étaient voisins et que la transformation était identique.

La conclusion vérifiable est la suivante : le hasard n'a pas été ajouté entre les étapes, mais l'étirement répété rend l'évolution sensible à la position initiale. Ce parcours illustre ainsi comment le fer à cheval produit du chaos au sein d'une dynamique déterministe ; il en donne un mécanisme de lecture, non une démonstration exhaustive.

Pour situer Smale en topologie différentielle, on associe à 1958 le retournement de la sphère par une déformation régulière qui autorise les auto-intersections temporaires, puis à 1961 la conjecture de Poincaré en dimensions supérieures à 4. Le critère à observer est la dimension : les cas 3 et 4 ont d'autres attributions.

Pour lire le fer à cheval de Smale, on suit toujours la même transformation : une région est étirée dans une direction, comprimée dans l'autre, puis repliée en forme de fer à cheval sur sa région de départ. Si l'on marque deux points très proches et que l'on répète l'opération, l'étirement peut les séparer tandis que le repliement maintient leurs trajectoires dans la région observée. Le test consiste à comparer leurs positions après chaque répétition : une règle inchangée et sans hasard peut ainsi produire des évolutions très différentes à partir de positions voisines. C'est le mécanisme que le fer à cheval donne à voir dans le chaos déterministe.

Pour aborder son héritage sous forme de questions ouvertes, on se tourne vers les dix-huit problèmes de Smale publiés en 1998. Certains recoupent les sept problèmes du prix du millénaire, mais les deux listes ne sont pas présentées comme identiques.

La contribution de Smale et la résolution de tous les cas de la conjecture de Poincaré. Le critère qui les sépare est la dimension. Smale démontre le résultat pour les dimensions supérieures à 4 ; la dimension 4 est associée à Freedman et la dimension 3 à Gregory Perelman en 2003.

Le fer à cheval de Smale et le retournement de la sphère. Le premier appartient ici aux systèmes dynamiques et illustre un comportement chaotique déterministe. Le second est un résultat de topologie différentielle sur l'éversion régulière d'une sphère plongée dans l'espace tridimensionnel : la surface peut se traverser elle-même au cours du processus, sans plis ni déchirure.

Seuil dimensionnel. La formulation « dimensions supérieures à 4 » exclut 4. Si une chronologie attribue indistinctement à Smale les dimensions 3, 4 et 5, il faut rétablir les attributions séparées données par la source.

Retournement théorique. Le résultat de 1958 porte sur la possibilité théorique d'inverser une sphère plongée dans l'espace tridimensionnel par une déformation régulière, sans créer de plis ni de déchirure. Les auto-intersections de la surface sont permises pendant le retournement : celle-ci ne reste donc pas plongée à chaque instant. Il ne faut pas remplacer cette formulation par une recette matérielle que la source ne fournit pas.

Listes de problèmes. Les dix-huit problèmes de Smale sont inspirés dans l'esprit des problèmes de Hilbert. Certains seulement recoupent les sept problèmes du prix du millénaire ; confondre ces ensembles effacerait cette restriction.

La fiche conjecture de Poincaré précise le problème dont Smale a traité les dimensions supérieures à 4.

La fiche système dynamique donne le cadre conceptuel du fer à cheval et de son comportement chaotique déterministe.

L'article Du problème des trois corps au chaos mathématique prolonge l'exploration du chaos dans les systèmes dynamiques.

La fiche médaille Fields situe la distinction reçue par Smale en 1966.