Continuity correction
La correction de continuité est un ajustement utilisé lorsqu'on approche une distribution discrète (par exemple la loi binomiale) par une distribution continue (par exemple la loi normale). Comme une distribution discrète attribue une masse positive à chaque valeur entière, la probabilité P(X = k) correspond à l'aire entre k-1/2 et k+1/2 sous la courbe continue approximante. Dans des conditions favorables, cette correction améliore souvent la précision de l'approximation normale de la loi binomiale. Elle peut toutefois rester insuffisante près des bords de la distribution ou dans les queues ; si la précision compte, il faut comparer avec le calcul exact.
Contents
What you will learn
- Expliquer l'origine du décalage de 0,5.
- Transformer correctement une égalité, une borne ou un intervalle discret.
- Comparer une approximation normale corrigée au calcul binomial exact.
- Reconnaître les situations où la correction ne suffit pas.
In plain terms
Imaginez 100 lancers de pièce et un comptage du nombre de piles. Les résultats possibles sont tous les entiers de 0 à 100, par exemple 49, 50 ou 51, jamais 50,3. Une courbe normale, elle, s'étend sans interruption. Pour faire coïncider ces deux visions, chaque entier reçoit une petite case large d'une unité. Ainsi, le résultat 55 occupe l'intervalle allant de 54,5 à 55,5. La correction de continuité consiste à mesurer l'aire de cette case sous la courbe, plutôt qu'à s'arrêter exactement sur 55.
Definition
La correction de continuité ajuste les bornes d'un événement discret avant de calculer sa probabilité avec une loi continue. Soit X une variable aléatoire dont les valeurs pertinentes sont des entiers consécutifs de pas 1, par exemple une variable binomiale, et soit Y la variable continue choisie pour l'approcher, par exemple une variable normale de même moyenne et de même variance. Chaque entier k est alors représenté par la cellule comprise entre k − 0,5 et k + 0,5. Pour une variable définie sur une autre maille, les bornes doivent être adaptées au pas de cette maille.
Dans ce cadre de valeurs entières consécutives de pas 1, pour deux entiers a et b tels que a ≤ b, la règle s'écrit . En particulier, . Le schéma associe ainsi la masse placée en 55 à une aire de largeur 1 sous la courbe normale. Pour une borne unique, le décalage se fait vers l'extérieur de l'ensemble conservé : et .
Le signe ≈ est essentiel : la correction améliore une approximation, mais ne transforme pas la loi continue en loi discrète. Les extrémités incluses ou exclues ne changent pas la probabilité calculée avec Y, car une variable continue attribue une probabilité nulle à un point isolé.
A step-by-step example
On lance 100 fois une pièce équilibrée et l'on cherche la probabilité d'obtenir au plus 55 piles.
Données : le nombre de lancers vaut 100 ; la probabilité de pile vaut 0,5 ; la variable X compte les piles ; la variable normale approchante Y a pour moyenne 50 et pour écart type 5.
Données : le nombre de lancers vaut 100 ; la probabilité de pile vaut 0,5 ; la variable X compte les piles ; la variable normale approchante Y a pour moyenne 50 et pour écart type 5.
1. L'événement discret est X ≤ 55. Sa dernière cellule entière s'étend jusqu'à 55,5 : on approche donc cette probabilité par Y ≤ 55,5.
2. On centre et on réduit la borne 55,5 en soustrayant la moyenne 50, puis en divisant par l'écart type 5 : .
3. Si Z suit la loi normale centrée réduite, une table ou un logiciel donne P(Z ≤ 1,1) ≈ 0,86433. Ainsi, P(X ≤ 55) ≈ 0,86433, soit environ 86,43 %.
Contrôle : le calcul binomial exact donne environ 0,86437. Sans correction, la borne 55 conduit à z = 1 et à environ 0,84134. La correction ramène ici l'écart absolu d'environ 0,02303 à moins de 0,00004.
In practice
Pour approcher une probabilité binomiale avec une loi normale, on traduit d'abord l'événement en valeurs entières. La borne continue est ensuite déplacée de 0,5 vers l'extérieur des valeurs retenues.
Pour une probabilité ponctuelle telle que X = 55, on remplace le point par l'intervalle de 54,5 à 55,5. Pour un intervalle entier, les deux bornes s'élargissent chacune de 0,5.
Lorsque le calcul exact de la loi discrète est disponible et que la précision compte, il reste la référence. L'approximation normale corrigée est surtout utile pour obtenir rapidement une valeur proche ; la proximité doit alors être contrôlée, en particulier dans les queues de la distribution.
Not to be confused with
Approximation normale et correction de continuité. L'approximation normale remplace la loi discrète par une loi continue aux paramètres adaptés. La correction de continuité intervient ensuite sur les bornes. Choisir une normale de moyenne 50 et d'écart type 5 ne suffit donc pas : pour X ≤ 55, la borne corrigée est 55,5.
Arrondi d'une mesure et correction de continuité. Un arrondi transforme une valeur mesurée selon une règle de présentation. Ici, le décalage de 0,5 ne modifie pas un résultat observé : il délimite, sous une courbe continue, la cellule qui représente un entier discret.
Limits and pitfalls
Près des bords et dans les queues. Une correction de 0,5 ne compense pas une mauvaise ressemblance globale entre la loi discrète et la courbe continue. Un écart important avec le calcul exact, surtout pour des valeurs proches des bords de la distribution, impose de conserver la loi discrète.
Bornes non entières. Il faut d'abord déterminer quels entiers satisfont réellement l'événement. Par exemple, X < 55,2 signifie X ≤ 55 lorsque X est entier ; la borne continue devient alors 55,5, et non 54,7 ni 55,7.
Événement ponctuel. Remplacer X = k par Y = k donnerait une probabilité nulle avec une loi continue. Le cas charnière est une cellule entière de largeur 1 : il faut utiliser l'intervalle allant de k − 0,5 à k + 0,5.
Exactitude attendue. La correction ne fournit pas une identité et aucun seuil universel ne garantit à lui seul une erreur acceptable. Si une décision dépend des dernières décimales, il faut comparer à un calcul discret exact ou borner l'erreur de l'approximation.
Further reading
La loi binomiale permet de retrouver la probabilité discrète exacte qui sert de référence à l'approximation.
L'article L'omniprésente loi normale replace la courbe approximante dans ses usages probabilistes plus larges.
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