Laplace–Gauss table
La table de Laplace-Gauss, également appelée table de la loi normale centrée réduite, est un tableau numérique qui fournit les valeurs de la densité de probabilité — ou de la fonction de répartition, selon la présentation retenue — de la loi normale standard N(0, 1) en fonction de la valeur prise par la variable réduite. Lorsqu'elle donne une fonction de répartition ou une aire, elle permet de déterminer les probabilités associées à des intervalles d'une distribution normale quelconque, après standardisation. Une table de densité fournit seulement la hauteur de la courbe et ne donne pas directement une probabilité d'intervalle.
Contents
What you will learn
- Reconnaître la convention d'une table de Laplace-Gauss.
- Standardiser une mesure normale et repérer la ligne et la colonne correspondant à z.
- Calculer et contrôler la probabilité d'un intervalle entre 162 cm et 178 cm.
- Distinguer densité, fonction de répartition et aire centrale.
- Éviter les erreurs de convention, d'arrondi et de modèle.
In plain terms
Imaginez des tailles regroupées autour de 170 cm. Pour savoir quelle part se situe entre 162 cm et 178 cm, on ramène d'abord ces bornes à une même échelle, centrée sur la moyenne. La table de Laplace-Gauss associe alors à chaque valeur réduite une aire sous la courbe en cloche. Cette aire représente une probabilité.
La table évite ainsi de recalculer une intégrale à chaque question. Il faut seulement connaître sa convention de lecture et standardiser correctement les données.
Definition
La table de Laplace-Gauss est un tableau de valeurs associé à la loi normale centrée réduite, de moyenne 0 et d'écart-type 1. On note Z une variable qui suit cette loi, écrite N(0, 1). La densité de probabilité de Z, notée φ, décrit la hauteur de la courbe : . La fonction de répartition, notée Φ, donne l'aire cumulée jusqu'à la valeur z : .
Selon l'édition, la table affiche φ(z), Φ(z), l'aire entre 0 et z ou une probabilité de dépassement. Son en-tête et quelques valeurs repères indiquent la convention retenue. Pour une variable normale X de moyenne μ et d'écart-type σ strictement positif, la valeur observée x devient la valeur réduite z par standardisation : . Cette transformation conserve les probabilités tout en ramenant le problème à N(0, 1).
Pour un intervalle, on standardise séparément ses deux bornes, puis on soustrait les probabilités cumulées correspondantes. La méthode suppose que la variable étudiée suit une loi normale et que l'écart-type n'est pas nul.
Where it comes up
On rencontre cette table dans les manuels, les formulaires d'examen et les exercices de probabilités consacrés à la loi normale. Elle se reconnaît à une colonne de valeurs comme 0,0, 0,1 ou 1,3, complétée par des colonnes de centièmes. Les cases contiennent des nombres compris entre 0 et 1 lorsque la table donne des probabilités cumulées.
Un titre ou une formule précise si les cases représentent Φ(z), une aire centrale, une queue ou la densité φ(z). La marge et l'en-tête recomposent ensemble la valeur réduite z. Le support porte donc une correspondance numérique entre un z et une hauteur de densité ou une probabilité, selon sa convention.
How to read it
La grandeur recherchée est généralement la probabilité cumulée Φ(z). Avant toute lecture, vérifiez dans le titre ou l'en-tête que la table donne bien . Une table d'aire centrale ou de densité donnerait un autre nombre pour le même z.
1. Standardisez la borne observée avec sa moyenne et son écart-type.
2. Arrondissez z à la précision de la table, souvent au centième.
3. Placez les unités et les dixièmes dans la première colonne, puis les centièmes dans l'en-tête.
4. Lisez la valeur à l'intersection.
2. Arrondissez z à la précision de la table, souvent au centième.
3. Placez les unités et les dixièmes dans la première colonne, puis les centièmes dans l'en-tête.
4. Lisez la valeur à l'intersection.
Pour z = 1,33, on cherche donc la ligne 1,3 et la colonne 0,03. La symétrie de la courbe donne . Un piège fréquent consiste à prendre la hauteur de la courbe pour l'aire recherchée. Le bon réflexe est de traduire d'abord la question par une inégalité, puis de contrôler la convention de la table.
A step-by-step example
Dans une population modélisée par une loi normale, la taille X a pour moyenne 170 cm et pour écart-type 6 cm. On cherche la proportion des tailles comprises entre 162 cm et 178 cm.
Données :
La borne basse vaut 162 cm.
La borne haute vaut 178 cm.
La table utilisée donne Φ(z) = P(Z ≤ z) au centième.
Données :
La borne basse vaut 162 cm.
La borne haute vaut 178 cm.
La table utilisée donne Φ(z) = P(Z ≤ z) au centième.
1. La borne haute devient .
2. La borne basse devient .
3. À la ligne 1,3 et à la colonne 0,03, la table donne Φ(1,33) = 0,9082. Par symétrie, Φ(−1,33) = 1 − 0,9082 = 0,0918.
4. La probabilité de l'intervalle vaut . La proportion recherchée est donc d'environ 81,64 %.
Le contrôle porte sur les deux queues extérieures : 2 × (1 − 0,9082) = 0,1836, puis 1 − 0,1836 = 0,8164. On retrouve la même aire centrale.
In practice
Dans un exercice sur une mesure normalement distribuée, la table transforme une borne exprimée dans l'unité d'origine en probabilité. Le geste utile consiste à standardiser chaque borne, puis à lire la bonne aire.
Pour interpréter une tolérance autour d'une moyenne, on calcule les deux valeurs réduites et on soustrait les valeurs cumulées. Si la distribution n'est pas normale, il faut employer le modèle adapté ou une estimation issue des données.
Pour quelques calculs à la main, la table rend les étapes visibles et contrôlables. Pour une série de seuils ou une précision supérieure au centième, un logiciel ou une calculatrice statistique est préférable, car il évite les arrondis successifs.
Not to be confused with
La loi normale et sa table. La loi est un modèle de distribution continu ; la table n'est qu'un support numérique pour certaines valeurs de ce modèle. Une question sur la forme ou les paramètres concerne la loi, tandis qu'une lecture de case concerne la table.
Densité et fonction de répartition. La densité φ(z) est une hauteur de courbe ; la fonction Φ(z) est une aire cumulée. À z = 0, la valeur cumulée vaut 0,5, ce qui permet d'identifier immédiatement une table de Φ.
Table de Laplace-Gauss et transformation de Laplace. La première reçoit une valeur réduite z et fournit une valeur liée à la loi normale. La seconde agit sur une fonction ; la nature de l'entrée suffit donc à trancher.
Limits and pitfalls
Convention différente. Une case qui ne vaut pas 0,5 pour z = 0 peut représenter l'aire entre 0 et z, une queue ou la densité. Il faut relire l'en-tête et convertir l'aire demandée au lieu d'appliquer mécaniquement une valeur cumulée.
Arrondi trop précoce. La table au centième remplace 1,333… par 1,33 et fournit une approximation. Il faut conserver les données initiales jusqu'à la standardisation et annoncer le résultat comme approché.
Modèle inadapté. Une standardisation ne rend pas normale une distribution qui ne l'est pas. Si les données ne justifient pas le modèle normal, une table de N(0, 1) ne donne pas la probabilité recherchée.
Écart-type nul. À σ = 0, la formule de standardisation divise par zéro. Toutes les valeurs sont alors concentrées en un même point : ce cas dégénéré ne se traite pas avec la table.
Further reading
écart-type — Précise le paramètre qui mesure la dispersion et intervient au dénominateur de la standardisation.
Trois lois des erreurs — Replace la courbe de Gauss parmi plusieurs modèles historiques employés pour décrire les erreurs.
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