dilation - map -

Imaginez une feuille quadrillée : les déplacements horizontaux restent inchangés, tandis que les déplacements verticaux sont multipliés par −2. Un point situé une case au-dessus de l'axe se retrouve deux cases en dessous. Cette transformation est une dilatation dans la direction verticale. Elle agit sur une seule direction choisie et préserve les autres. Le nombre multiplicateur fixe l'agrandissement ou la réduction ; son signe indique aussi si le sens est conservé ou inversé.

Soit un espace vectoriel E muni d'une base formée des vecteurs e₁, …, eₙ. On choisit l'indice j d'une direction et un scalaire k. La dilatation de direction eⱼ et de coefficient k est l'endomorphisme φ déterminé par les images des vecteurs de cette base : elle fixe eᵢ lorsque i est différent de j et envoie eⱼ sur k fois eⱼ.

Si un vecteur x a pour coordonnées x₁, …, xₙ dans cette base, seule sa j-ième coordonnée change. La règle complète est $\varphi (x_1,\dots ,x_j,\dots ,x_n)=(x_1,\dots ,k{x}_j,\dots ,x_n)\backslash phi(x\_1,\backslash ldots,x\_j,\backslash ldots,x\_n)=(x\_1,\backslash ldots,kx\_j,\backslash ldots,x\_n)$. Sa matrice dans la base choisie est diagonale :Le coefficient k occupe la j-ième place.

Pour k positif, le sens de la direction choisie est conservé. Pour k négatif, il est inversé. La transformation est inversible exactement lorsque k n'est pas nul ; son inverse a alors le coefficient 1/k dans la même direction. Dans l'espace affine associé, la transformation correspondante est une affinité.

Une dilatation repose sur quatre données liées. L'espace vectoriel E est le domaine de la transformation. La base (e₁, …, eₙ) fournit les directions de référence. L'indice j sélectionne le seul vecteur de base qui change, et le scalaire k donne son facteur multiplicatif. Le choix de la base et celui de j déterminent donc la direction affectée ; le choix de k détermine ensuite son image.

Ces données suffisent à construire l'endomorphisme entier, car les images des vecteurs d'une base déterminent une application linéaire unique. Elles suffisent aussi à écrire sa matrice diagonale. Le tracé, la couleur ou l'échelle d'un dessin n'appartiennent pas à la définition ; la base choisie, la direction eⱼ et le coefficient k, eux, sont essentiels.

Dans le plan réel, on choisit la base usuelle : e₁ est le vecteur horizontal (1, 0) et e₂ le vecteur vertical (0, 1). La direction choisie est e₂, le coefficient vaut k = −2 et le vecteur test est u = (2, 1).

1. La première direction est fixée : φ(e₁) = e₁.
2. La seconde est multipliée par −2 : φ(e₂) = −2e₂.
3. La matrice dans la base usuelle est :4. Comme u = 2e₁ + e₂, la linéarité donne φ(u) = 2e₁ − 2e₂ = (2, −2).

Le résultat conserve donc la coordonnée horizontale 2 et transforme la coordonnée verticale 1 en −2. Le contrôle se refait directement : multiplier la matrice par la colonne de coordonnées de u redonne la colonne (2, −2). Le carré unité devient, dans la même base, un rectangle de hauteur 2 placé dans le sens vertical opposé.

Pour appliquer une dilatation à un vecteur donné par ses coordonnées, on conserve toutes les coordonnées sauf celle de la direction choisie, que l'on multiplie par k. Une multiplication matricielle complète reste utile si la matrice n'est pas déjà diagonale dans la base utilisée.

Pour reconnaître une dilatation dans une matrice, on vérifie que la matrice est diagonale dans la base annoncée et qu'un seul coefficient diagonal peut différer de 1. Si plusieurs coefficients diffèrent de 1, il faut décrire une transformation diagonale plus générale.

Pour annuler la transformation, on emploie la dilatation de coefficient 1/k dans la même direction lorsque k ≠ 0. Si k = 0, aucune transformation inverse n'existe : l'information portée par la coordonnée choisie a été perdue.

Homothétie. Une homothétie vectorielle de rapport k multiplie toutes les directions par k. Une dilatation de direction eⱼ ne multiplie qu'une direction de la base et fixe les autres. Ainsi, dans le plan, (x, y) ↦ (−2x, −2y) est une homothétie, tandis que (x, y) ↦ (x, −2y) est la dilatation utilisée dans l'exemple.

Affinité. La dilatation décrite ici est un endomorphisme : elle agit sur les vecteurs et fixe le vecteur nul. Dans un espace affine, la transformation correspondante est une affinité et s'exprime par rapport à un sous-espace fixe et une direction. Le cadre, vectoriel ou affine, tranche entre les deux termes.

Coefficient nul. Lorsque k = 0, toute la composante dans la direction eⱼ est effacée. Des vecteurs distincts peuvent avoir la même image ; il ne faut donc pas chercher d'inverse.

Coefficient un. Lorsque k = 1, même la direction choisie reste inchangée : la dilatation est l'identité. Une matrice entièrement diagonale ne suffit pas à signaler un changement effectif.

Coefficient négatif. La valeur absolue de k donne le facteur d'échelle, mais le signe négatif inverse aussi le sens dans la direction eⱼ. Lire seulement « agrandissement » ou « réduction » ferait perdre cette inversion.

Base non précisée. La forme diagonale avec un seul terme k est garantie dans la base qui sert à définir la dilatation. Après un changement de base, la même application peut ne plus présenter cette forme visible ; il faut alors exprimer la base de référence ou effectuer le changement de coordonnées.

L'affinité prolonge la dilatation dans un cadre affine et permet d'identifier le rôle d'un sous-espace fixe.

L'homothétie montre ce qui change lorsque le même coefficient est appliqué à toutes les directions.

La notion de valeur propre éclaire pourquoi eⱼ a pour valeur propre k, tandis que les autres vecteurs de base ont pour valeur propre 1.