Euler series

Prenons deux entiers consécutifs, 1 et 2. Leur quotient vaut 2, et son logarithme peut être approché en additionnant 2/3, puis 2/81, puis 2/1 215, et ainsi de suite. Chaque correction positive est bien plus petite que la précédente : la somme se stabilise vers ln(2).

Le nom « série d’Euler » désigne ici deux recettes de sommes infinies. L’une vise π ; l’autre donne la différence entre les logarithmes de deux entiers consécutifs. Dans les deux cas, un calcul concret remplace l’infini par une somme partielle dont on contrôle la stabilisation.

L’appellation « série d’Euler » recouvre deux séries numériques distinctes. Dans la première, l’indice entier k commence à 0 ; le produit vide du premier terme vaut 1. La somme s’écrit $\pi =2{\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\prod }_{j=1}^k\frac{j}{2j+1}\pi =2\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\backslash prod\_\{j=1\}^\{k\}\backslash frac\{j\}\{2j+1\}$. Ses premiers termes redonnent 2(1 + 1/3 + (1/3)(2/5) + …), et ses sommes partielles approchent π par valeurs inférieures.

La seconde série s’applique à un entier naturel n au moins égal à 1. Elle exprime le logarithme du quotient (n + 1)/n, donc la différence ln(n + 1) − ln(n) : Le nombre 1/(2n + 1) est strictement compris entre 0 et 1, ce qui assure la convergence de ce développement en série entière du logarithme. Les puissances de 2n + 1 sont nécessairement impaires : 1, 3, 5, puis 7.

Chaque série comporte quatre éléments. La valeur cible est π dans la première version, et ln(n + 1) − ln(n) dans la seconde. L’indice k numérote les termes à partir de 0. Le terme général dépend de k : un produit de fractions pour π, une puissance impaire de 2n + 1 pour le logarithme. Enfin, la somme partielle additionne seulement les premiers termes.

L’indice détermine donc à la fois le facteur ajouté au produit et la puissance utilisée dans la série logarithmique. Le paramètre n n’intervient que dans cette seconde série : il choisit les deux entiers consécutifs. Ces données suffisent à calculer autant de termes que souhaité et à comparer deux sommes partielles successives.

Calculons ln(2) avec la seconde série. Données : l’entier choisi est n = 1 ; le nombre 2n + 1 vaut 3 ; les exposants successifs sont 1, 3, 5 et 7. Toutes les corrections sont positives.

1. Le premier terme donne S₁ = 2/3 ≈ 0,666667.
2. On ajoute 2/(3 × 3³) = 2/81 : S₂ = 56/81 ≈ 0,691358.
3. On ajoute 2/(5 × 3⁵) = 2/1 215 : S₃ = 842/1 215 ≈ 0,693004.
4. On ajoute 2/(7 × 3⁷) = 2/15 309 : S₄ = 53 056/76 545 ≈ 0,693135.

La figure matérialise le rétrécissement rapide des corrections. Pour contrôler l’arrondi, le terme suivant vaut 2/(9 × 3⁹) ≈ 0,00001129. Les termes restants décroissent chacun d’un facteur inférieur à 1/9 ; leur somme est donc inférieure à 0,00001271. Ainsi, ln(2) s’arrondit bien à 0,693 au millième.

Pour approcher π à la main, la première série fournit une suite de valeurs inférieures faciles à recalculer terme après terme. Si beaucoup de décimales sont exigées, le nombre de termes nécessaires devient le critère pour lui préférer une méthode plus rapide.

Pour estimer ln((n + 1)/n), la seconde série est directement adaptée dès que n ≥ 1. On additionne jusqu’à ce que la prochaine correction soit plus petite que la précision recherchée, puis on borne les termes encore omis.

Pour vérifier un programme de calcul, quelques sommes partielles exactes servent de cas test. Un résultat qui diminue, ou qui utilise des puissances paires dans la version logarithmique, révèle immédiatement une mauvaise transcription.

Une série d’Euler et une série entière. Une série entière est une somme de puissances d’une variable. La seconde série d’Euler provient d’un tel développement, mais elle devient une série numérique lorsque n est fixé. Le critère est donc la présence d’une variable libre : après n = 1, on additionne des nombres pour obtenir ln(2).

Série d’Euler et formule d’Euler. Le premier nom désigne ici une addition infinie destinée à π ou à un logarithme. Le second désigne une autre relation mathématique. Une écriture formée de termes successifs à additionner relève de la série, pas du seul fait qu’Euler soit cité dans son nom.

Puissances mal recopiées. Dans la série logarithmique, les exposants sont 1, 3, 5, 7, … et non 1, 2, 3, … Le symptôme apparaît dès n = 1 : les corrections ne sont plus 2/3, 2/81, 2/1 215, … Il faut repartir du terme général à puissance 2k + 1.

Valeur interdite n = 0. La différence contiendrait ln(0), qui n’est pas défini dans les nombres réels, et le quotient (n + 1)/n comporterait une division par zéro. La formule annoncée commence donc à l’entier n = 1.

Somme tronquée prise pour une égalité exacte. Une somme finie ne vaut pas encore π ou le logarithme visé. Une stabilisation visuelle des décimales ne suffit pas non plus : il faut estimer les termes omis avant d’annoncer un arrondi.

La série entière replace la seconde formule dans le mécanisme général des développements en puissances d’une variable.

La fonction logarithme népérien précise la fonction dont la différence ln(n + 1) − ln(n) est calculée.

La fiche Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) met en regard une autre façon d’approcher π et son contrôle numérique.

L’article La genèse des expansions de fonctions apporte le contexte conceptuel des développements de fonctions en séries.