Nicolaus Mercator

En 1668, Nicolaus Mercator publie Logarithmotechnia. On y rencontre une addition sans fin : x, puis −x²/2, puis +x³/3, avec des signes qui alternent. En ajoutant de plus en plus de termes, on approche le logarithme naturel de 1 + x.

Ce procédé fait de Mercator un pionnier des séries entières avant Leibniz. Il transforme ainsi une fonction difficile à évaluer en une suite d’additions, de puissances et de divisions.

Nicolaus Mercator (1620–1687), né Kaufmann et aussi appelé Nicolas de Holstein, est un astronome et mathématicien allemand installé en France. Il ne faut pas le confondre avec le géographe flamand Gerardus Mercator. Son œuvre principale, Logarithmotechnia, paraît en 1668. D’Alembert le présente comme l’inventeur des séries infinies et comme un précurseur de Newton ; son travail sur les développements en série entière précède celui de Leibniz.

La série de Mercator exprime le logarithme naturel de 1 + x, où x désigne un nombre réel : Pour les réels, cette égalité vaut lorsque −1 < x ≤ 1. Le point x = −1 doit être exclu : le logarithme de 0 n’est pas défini et la série correspondante diverge. Pour |x| < 1, il s’agit d’une série entière ; au point x = 1, elle converge vers ln(2).

Le résultat relie les séries infinies au logarithme naturel, aussi appelé logarithme népérien. En remplaçant x par t − 1, la série donne directement ln(t) pour 0 < t ≤ 2. Un prolongement ou une autre représentation est nécessaire pour obtenir ln(t) pour tout t strictement positif ; sa dérivée est alors 1/t. Le logarithme naturel est donc une primitive de la fonction t ↦ 1/t sur cet intervalle.

Approchons ln(1,5) avec la série de Mercator. La donnée est x = 0,5, donc 1 + x = 1,5. On note S_n la somme des n premiers termes et l’on s’arrête après cinq termes.

1. Les deux premières sommes sont $S_1=\mathrm{0,5}S\_1=0\{,\}5$ et $S_2=\mathrm{0,5}-\frac{{\mathrm{0,5}}^2}{2}=\mathrm{0,375}S\_2=0\{,\}5-\backslash frac\{0\{,\}5^2\}\{2\}=0\{,\}375$.

2. Le troisième terme est positif : $S_3=\mathrm{0,375}+\frac{{\mathrm{0,5}}^3}{3}\approx \mathrm{0,416667}S\_3=0\{,\}375+\backslash frac\{0\{,\}5^3\}\{3\}\backslash approx0\{,\}416667$.

3. Le quatrième terme est négatif : $S_4=S_3-\frac{{\mathrm{0,5}}^4}{4}\approx \mathrm{0,401042}S\_4=S\_3-\backslash frac\{0\{,\}5^4\}\{4\}\backslash approx0\{,\}401042$.

4. Le cinquième terme redresse l’estimation : $S_5=S_4+\frac{{\mathrm{0,5}}^5}{5}\approx \mathrm{0,407292}S\_5=S\_4+\backslash frac\{0\{,\}5^5\}\{5\}\backslash approx0\{,\}407292$.

On obtient ln(1,5) ≈ 0,407292 après cinq termes, contre environ 0,405465 pour la valeur recherchée. Le terme suivant vaut 0,5⁶/6 ≈ 0,002604 : l’écart observé, environ 0,001827, lui est bien inférieur. Le tracé des sommes partielles montre leur alternance autour de la valeur limite.

Pour lire un texte d’histoire de l’analyse, le nom « série de Mercator » signale le développement de ln(1 + x), et non une projection cartographique. La formule et la date 1668 permettent d’identifier le bon Mercator.

Pour approcher un logarithme à la main, on choisit la série lorsque x est proche de 0 : les puissances de x diminuent alors rapidement. Si x est proche de 1, une transformation préalable ou une autre méthode numérique est préférable, car la convergence devient lente.

Pour relier calcul différentiel et séries, on peut partir de la série géométrique de 1/(1 + x), puis intégrer terme à terme dans son domaine de validité. Ce geste fait apparaître les dénominateurs successifs de la série de Mercator.

Nicolaus Mercator et Gerardus Mercator. Nicolaus est le mathématicien allemand associé en 1668 à une série logarithmique. Gerardus est le géographe flamand associé à la cartographie. Une formule pour ln(1 + x) désigne le premier ; une projection géographique, le second.

Série de Mercator et série géométrique. La série de Mercator comporte les diviseurs 1, 2, 3, 4, … et donne ln(1 + x). La série géométrique représente 1/(1 + x) avec des coefficients alternés +1 et −1, donc constants en valeur absolue. L’intégration de la seconde produit la première dans l’intervalle approprié.

Le bord x = −1 est exclu. La condition abrégée |x| ≤ 1 masque une exception. En x = −1, 1 + x vaut 0, ln(0) n’existe pas et la série devient −1 − 1/2 − 1/3 − …, qui diverge. Il faut écrire −1 < x ≤ 1.

La formule ne se prolonge pas telle quelle au-delà de son domaine. Si |x| > 1, les termes xⁿ/n ne tendent pas vers 0. La somme ne peut donc pas converger ; il faut transformer l’argument ou employer une autre représentation du logarithme.

Convergence ne signifie pas rapidité. Au point x = 1, la série alternée converge vers ln(2), mais son erreur après n termes n’est majorée que par 1/(n + 1). Pour une forte précision, ce bord est donc peu efficace comparé à un argument plus proche de 0.

série entière — Pour replacer la formule de Mercator dans la famille des développements en puissances et préciser leur domaine de convergence.

Mercator Gerardus — Pour distinguer définitivement le géographe flamand du mathématicien Nicolaus Mercator.

Newton Isaac — Pour situer le savant dont Nicolaus Mercator est présenté comme un précurseur.

Leibniz Gottfried — Pour prolonger l’histoire des séries entières après les travaux de Mercator.