Fourier transform
La transformée de Fourier d'une fonction intégrable f est la fonction définie par l'intégrale de f(x) multipliée par l'exponentielle complexe exp(−2π i ξ x) par rapport à x. Elle décompose la fonction en fréquences, transformant des opérations de convolution en multiplications. La transformée de Fourier inverse permet de retrouver la fonction originale et joue un rôle central en analyse, en traitement du signal et en physique.
Contents
What you will learn
- Identifier les variables, la convention et la formule intégrale.
- Calculer la transformée d’un créneau et contrôler ses zéros.
- Distinguer transformée continue, série de Fourier et transformée discrète.
- Repérer les hypothèses d’inversion et les changements de convention.
In plain terms
Un signal peut présenter des oscillations trop mêlées pour être reconnues directement. La transformée de Fourier change le point de vue : au lieu de décrire les valeurs du signal au fil du temps ou de l’espace, elle indique la contribution de chaque fréquence.
Une fréquence très présente produit une contribution marquée. La phase conserve le décalage de l’oscillation. Cette nouvelle description ne remplace pas l’objet initial : une transformation inverse peut le reconstituer lorsque les hypothèses nécessaires sont satisfaites.
Definition
La transformée de Fourier associe à une fonction intégrable f, définie sur la droite réelle et à valeurs réelles ou complexes, une fonction de la fréquence. La variable x décrit le temps ou la position, tandis que la variable ξ désigne la fréquence. Avec la convention où la fréquence est mesurée en cycles par unité de x, la fonction transformée, notée f̂, est définie par :
Le nombre complexe i vérifie i2 = −1. D’autres conventions placent le facteur 2π dans la variable de fréquence ou répartissent des constantes entre transformation directe et transformation inverse ; les formules doivent donc être lues ensemble.
Sous des hypothèses d’inversion adaptées, notamment pour une fonction de l’espace de Schwartz, la fonction originale se retrouve par . Dans l’espace L2, l’égalité et l’inversion se comprennent au sens de la norme quadratique. Enfin, la transformée d’une convolution de deux fonctions devient le produit de leurs transformées, dès que les hypothèses d’existence requises sont réunies.
Where it comes up
On rencontre la transformée de Fourier lorsqu’un même phénomène est présenté sous deux graphes. Le premier porte une variable de temps ou de position sur l’axe horizontal. Le second porte une fréquence ξ sur cet axe. Des pics, un lobe central, des lobes secondaires ou des zéros y signalent la manière dont les fréquences contribuent.
Le graphe fréquentiel porte deux informations : le module mesure l’importance de chaque fréquence et l’argument complexe en donne la phase. Dans les calculs d’analyse, la même représentation apparaît sous la notation f̂ et sous une intégrale contenant une exponentielle complexe.
How to read it
La grandeur lue est la contribution complexe associée à chaque fréquence ξ. 1. Il faut d’abord identifier la convention de transformation : ici, l’exponentielle contient −2πiξx.
2. On repère ensuite l’origine ξ = 0. La valeur f̂(0) est l’intégrale totale de f ; pour le créneau conducteur, elle vaut 1.
3. On lit le module pour évaluer le poids d’une fréquence, puis la phase pour conserver son décalage. Deux transformées de même module ne décrivent pas nécessairement la même fonction.
4. On vérifie enfin les unités : si x est en secondes, ξ est en hertz. Un pic paraît parfois posséder une largeur absolue ; en réalité, cette largeur dépend de l’échelle fréquentielle et de la durée ou de l’étendue du signal observé.
A step-by-step example
Considérons une fonction-créneau f. Les données sont les suivantes : f(x) vaut 1 lorsque −1/2 ≤ x ≤ 1/2, elle vaut 0 ailleurs, et la convention utilise l’exponentielle de −2πiξx.
1. Comme f est nulle hors de l’intervalle, l’intégrale se réduit à :
2. Pour une fréquence ξ non nulle, une primitive de l’exponentielle donne :
3. À la fréquence ξ = 0, on revient à l’intégrale du créneau : f̂(0) = 1. Cette valeur coïncide aussi avec la limite du quotient lorsque ξ tend vers 0.
4. Aux fréquences entières non nulles, le sinus vaut 0 : la transformée s’annule donc en ξ = ±1, ±2, ±3, et ainsi de suite. Le contrôle est refaisable en remplaçant ξ par 1 : sin(π)/(π) = 0. La figure met en regard le créneau, d’aire 1, et ces zéros régulièrement espacés.
In practice
En traitement du signal, on passe au domaine fréquentiel lorsque des oscillations superposées sont difficiles à distinguer dans le graphe temporel. Une lecture directe du signal reste préférable si l’on cherche seulement l’instant d’un événement isolé.
Pour calculer une convolution, transformer les deux fonctions, multiplier leurs transformées puis inverser peut remplacer l’intégrale de convolution. Le calcul direct demeure utile lorsque les fonctions ont un support très simple et que l’intégrale se réduit immédiatement.
Dans certaines équations différentielles, la transformation convertit les dérivées en multiplications par la variable de fréquence. Cette voie est avantageuse quand l’équation transformée devient algébrique ; une résolution directe peut rester plus courte pour une équation élémentaire assortie de conditions simples.
Not to be confused with
Série de Fourier. Elle décompose une fonction périodique en fréquences discrètes, tandis que la transformée étudiée ici porte sur une fonction de la droite et fournit une variable fréquentielle continue. Un signal périodique traité sur une période relève d’une série.
Transformée de Fourier discrète. Elle agit sur une suite finie d’échantillons et renvoie un nombre fini de coefficients. Le créneau défini pour tout réel x et intégré sur un intervalle relève de la transformée continue.
Transformée de Laplace. Son noyau comporte une variable complexe et peut intégrer une pondération exponentielle réelle. Si l’objectif consiste à décrire les seules fréquences réelles avec l’exponentielle oscillante de la définition, il s’agit de la transformée de Fourier.
Limits and pitfalls
Intégrabilité insuffisante pour une inversion point par point. L’intégrale définissant f̂ peut exister sans que la formule inverse restitue f en chaque point. Le symptôme est un saut ou un manque de régularité ; il faut préciser le sens de convergence et les hypothèses d’inversion.
Quotient indéterminé à l’origine. Dans l’exemple, sin(πξ)/(πξ) affiche 0/0 lorsque ξ = 0, mais la transformée n’y est pas indéfinie. Il faut utiliser l’intégrale initiale ou la limite, qui donnent exactement 1.
Convention silencieuse. Une formule écrite avec e−iξx n’emploie pas la même échelle fréquentielle que celle contenant e−2πiξx. Des zéros ou des pics semblent alors déplacés d’un facteur 2π ; il faut harmoniser la convention avant toute comparaison.
Module seul. Un spectre de module ne conserve pas la phase. Le symptôme est que plusieurs fonctions peuvent partager le même module spectral ; il faut garder la transformée complexe complète pour appliquer sans ambiguïté la formule inverse.
Further reading
La convolution précise l’opération qui devient une multiplication après transformation et permet de vérifier exactement cette propriété.
La série de Fourier montre comment la décomposition fréquentielle change lorsqu’une fonction est périodique et que les fréquences deviennent discrètes.
L’égalité de Parseval relie la description initiale et la description fréquentielle par une conservation de la norme dans le cadre approprié.
L’article À la base du traitement du signal replace la lecture des fréquences dans un contexte d’application concret.
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