Descartes' theorem

Imaginez trois pièces rondes qui se touchent deux à deux. Il reste entre elles un petit espace courbe où un quatrième cercle peut venir se loger. Le théorème de Descartes relie la taille de ce nouveau cercle aux trois autres sans demander de chercher son centre.

Il emploie la courbure : plus un cercle est petit, plus l'inverse de son rayon est grand. À trois cercles donnés correspondent deux solutions : un cercle dans l'interstice et, selon la configuration, un cercle qui entoure les trois autres.

Le théorème de Descartes est une relation algébrique entre quatre cercles mutuellement tangents. La courbure d'un cercle de rayon r est l'inverse de ce rayon. On note k₁, k₂, k₃ et k₄ les quatre courbures. Elles satisfont l'identité suivante :

Lorsque trois courbures sont connues, l'équation est du second degré en la quatrième. Elle donne donc deux valeurs, associées aux deux cercles tangents aux trois cercles de départ : les cercles de Soddy. Pour des tangences extérieures, les courbures sont positives. Si l'une des solutions entoure les autres cercles, sa courbure doit être prise négative dans l'identité ; sa valeur absolue reste l'inverse de son rayon.

Si quatre cercles sont tangents deux à deux et si leurs courbures signées sont k₁, k₂, k₃ et k₄, alors :

Pour trois valeurs connues, les deux courbures possibles du quatrième cercle s'obtiennent directement par : $k_4=k_1+k_2+k_3\pm 2\sqrt{k_1{k}_2+k_2{k}_3+k_3{k}_1}k\_4=k\_1+k\_2+k\_3\backslash pm2\backslash sqrt\{k\_1k\_2+k\_2k\_3+k\_3k\_1\}$. Le signe distingue les deux cercles solutions.

La relation porte sur quatre cercles dont chacun est tangent aux trois autres. Il faut connaître trois rayons, puis les convertir dans la même unité avant d'en prendre les inverses. Le signe des courbures doit aussi suivre une convention cohérente : positif pour les cercles tangents extérieurement, négatif pour un cercle qui contient les autres.

Si trois cercles ne sont pas tangents deux à deux, leurs seuls rayons ne suffisent pas : leur position intervient et la formule de Descartes ne détermine pas le quatrième cercle. Il faut alors résoudre un problème de tangence tenant compte des centres et des distances.

Trois cercles de rayon 1 sont tangents deux à deux. Leurs courbures valent donc k₁ = k₂ = k₃ = 1. On cherche les deux courbures k₄ possibles.

1. On additionne les trois courbures : 1 + 1 + 1 = 3.
2. Sous la racine, les trois produits valent chacun 1, donc leur somme vaut 3.
3. On applique la formule : $k_4=3\pm 2\sqrt{3}k\_4=3\backslash pm2\backslash sqrt\{3\}$.
4. Les deux résultats sont $k_4=3+2\sqrt{3}\approx \mathrm{6,464}k\_4=3+2\backslash sqrt\{3\}\backslash approx6\{,\}464$ et $k_4=3-2\sqrt{3}\approx -\mathrm{0,464}k\_4=3-2\backslash sqrt\{3\}\backslash approx-0\{,\}464$.

La solution positive donne le petit cercle central, de rayon $1\mathrm{/}(3+2\sqrt{3})=(2\sqrt{3}-3)\mathrm{/}3\approx \mathrm{0,155}1/(3+2\backslash sqrt\{3\})=(2\backslash sqrt\{3\}-3)/3\backslash approx0\{,\}155$. La solution négative représente le cercle englobant ; son rayon géométrique est d'environ 2,155. En remplaçant k₄ par 3 + 2√3 dans l'identité, les deux membres ont exactement la même valeur.

Dans une configuration de trois cercles tangents, la formule donne immédiatement le rayon d'un cercle à insérer dans l'interstice. Une construction par centres et distances reste préférable si les cercles de départ ne se touchent pas tous deux à deux.

Pour contrôler une figure, on transforme les rayons en courbures et on vérifie l'identité. Si un cercle entoure les autres, on utilise sa courbure signée négative ; l'inverse positif du rayon ferait échouer le contrôle.

En répétant le calcul dans chaque nouvel interstice, on obtient une succession de cercles tangents de plus en plus petits. Le théorème fournit leurs tailles ; une construction géométrique séparée fixe leurs centres.

Avec le problème d'Apollonius. Celui-ci demande de construire les cercles tangents à trois objets géométriques donnés. Le théorème de Descartes fournit une relation entre les rayons lorsque les trois objets de départ sont déjà des cercles tangents deux à deux ; il ne localise pas à lui seul le centre du cercle solution.

Avec une simple condition de tangence. Pour deux cercles extérieurement tangents, la distance entre les centres égale la somme des rayons. Cette condition concerne une paire. L'identité de Descartes relie simultanément les courbures de quatre cercles tous tangents deux à deux.

Le cercle englobant exige un signe. Dans l'exemple de trois cercles de rayon 1, la seconde solution vaut environ −0,464. Ce nombre n'est pas un rayon négatif : c'est une courbure orientée. Le rayon géométrique est positif et vaut environ 2,155.

Deux solutions ne signifient pas deux petits cercles intérieurs. La racine avec le signe plus donne ici le cercle de l'interstice ; la racine avec le signe moins donne le cercle qui entoure les trois autres. Il faut interpréter le signe avant de convertir en rayon.

Les rayons seuls ne placent pas le cercle. L'identité détermine une courbure, donc une taille. Pour dessiner la solution, il faut encore imposer les tangences et trouver le centre ; appliquer seulement la formule ne produit pas sa position.

Les cercles de Soddy approfondissent les deux solutions associées à trois cercles tangents. L'article Des cercles touchants replace cette configuration dans une exploration plus large des tangences entre cercles.