n carrés dans un carré

On se donne un carré de taille quelconque. Pour quelles valeurs de n peut-on paver ce carré en n carrés ?
Il est facile de trouver des solutions pour n = 4, n = 9, n = 16… mais il n’est pas dit que les carrés doivent tous êtres identiques. On peut commencer par chercher un pavage en 8 carrés, à partir duquel on construira un pavage en 17 carrés.

Empilement optimal de jetons

Sur une grille 5 × 5, on place un jeton sur chaque case.
L’objectif est d’empiler les jetons en un minimum de piles, avec la règle de déplacement suivante : on peut déplacer une pile de jetons présente sur une case vers une case adjacente à condition que celle-ci contienne une pile de taille supérieure ou égale.

Polygones réguliers à sommets entiers

Sur une grille carrée régulière, peut-on construire des polygones réguliers dont tous les sommets se trouvent aux intersections ? On pourra par exemple commencer par chercher des carrés, des triangles équilatéraux et des hexagones, qui sont les trois seuls polygones réguliers qui pavent le plan.

L'interview de Denise Grenier

Denise Grenier est enseignante chercheuse à l’université Grenoble-Alpes en didactique des mathématiques (retraitée), membre de l’Institut Fourier. Après une formation en mathématiques discrètes, elle s’intéresse à ce domaine de recherche comme outil pour l’apprentissage du raisonnement et de la preuve. Les thèses qu’elle a encadrées sont à l’intersection entre la didactique des maths et la géométrie discrète. Ce domaine permet en effet des énoncés mathématiques très accessibles – alors que certains sont encore ouverts dans la recherche – qui vont amener à la construction de situations originales d’apprentissage pour les élèves. Il offre aussi un autre regard sur des objets connus et conduit à s’interroger sur les complémentarités des raisonnements entre les mondes discret et continu.
« Ces problèmes ont en commun que les énoncés sont très faciles à comprendre – on peut les poser dès le collège – mais la résolution n’est pas immédiate et demande un vrai travail d’expérimentation et de recherche. Un autre intérêt est qu’ils mettent en relation les domaines de l'arithmétique et de la géométrie. Ce qui est remarquable, dans le premier problème, est que l’expérimentation permet de trouver un processus de construction algorithmique pour n’importe quelle valeur de n (par exemple on peut le faire de manière précise pour 127 !). Le second est un problème d’optimisation sur un ensemble discret , c’est-à-dire contenant un nombre fini de valeurs, ce qui met en œuvre des raisonnements différents de ceux utilisés habituellement dans le continu. Le dernier est un problème d’existence qui va être résolu avec des axiomes et des théorèmes de la géométrie discrète combinés avec des transformations de la géométrie euclidienne. »
L’interview est disponible en intégralité en vidéo sur notre chaine YouTube.