Heaviside function

Imaginez un interrupteur qui reste éteint avant l'instant choisi, puis s'allume d'un coup. La valeur 0 représente l'état inactif et la valeur 1 l'état actif. La fonction de Heaviside traduit ce basculement en langage mathématique.

Son seuil de référence est 0. À gauche de ce seuil, la sortie vaut 0 ; à droite, elle vaut 1. La valeur attribuée exactement au seuil dépend de la convention adoptée.

La fonction de Heaviside est une fonction réelle à valeurs 0 ou 1. Pour un nombre réel noté x, la convention de cette fiche la définit par :

Le nombre 0 est le seuil : le changement de valeur y est instantané. Une activation au réel a se représente en décalant l'entrée, avec $H(x-a)H(x-a)$. Le cas x = 0 n'est pas universel : selon le contexte, on pose aussi H(0) = 1/2 ou H(0) = 0. Au sens des distributions, et non comme dérivée ordinaire en tout point, la dérivée de H est la distribution de Dirac notée δ. La fonction porte le nom d'Oliver Heaviside (1850–1925).

Cinq éléments déterminent la fonction. L'entrée x parcourt les nombres réels. Le seuil 0 partage cet ensemble en deux zones. La valeur 0 code l'état inactif avant le seuil, tandis que la valeur 1 code l'état actif après le seuil. Enfin, une convention fixe la valeur au point de bascule lui-même.

La comparaison entre x et le seuil commande donc la sortie, et la convention à l'origine complète la règle au seul point où le saut se produit. Ces données suffisent à calculer H(x) pour tout réel x. La couleur, l'épaisseur ou l'échelle d'un tracé ne définissent pas la fonction ; seuls le seuil, les deux valeurs et la convention au seuil comptent.

Un circuit délivre un signal idéal qui passe de 0 V à 5 V à l'instant 2 s. On utilise la convention H(0) = 1.
Données :
amplitude active : 5 V ;
instant d'activation : 2 s ;
instants testés : 1 s, 2 s et 3 s.

1. Le temps, noté t en secondes, est décalé de 2 s. Le signal, noté u en volts, s'écrit $u(t)=5H(t-2)u(t)=5H(t-2)$.

2. À 1 s, t − 2 = −1 s. Comme l'entrée de H est négative, u(1) = 5 × 0 = 0 V.

3. À 2 s, t − 2 = 0 s. La convention choisie donne u(2) = 5 × 1 = 5 V.

4. À 3 s, t − 2 = 1 s. L'entrée est positive, donc u(3) = 5 × 1 = 5 V. Le contrôle est direct : avant 2 s le signal vaut 0 V, et dès 2 s il vaut 5 V. Le tracé rend ce contrôle visible.

En traitement du signal, la fonction de Heaviside représente une activation brusque. On décale son argument pour placer le basculement à l'instant voulu, puis on multiplie la fonction par l'amplitude du signal.

Dans l'analyse des systèmes dynamiques et des circuits électroniques, elle décrit une entrée appliquée d'un seul coup. Si l'activation observée est progressive plutôt qu'instantanée, une fonction continue décrivant cette transition est plus fidèle.

La transformée de Laplace convertit l'échelon en 1/s dans son domaine de convergence. Cette écriture facilite l'étude de la réponse d'un système à une commande maintenue après son déclenchement.

Fonction de Heaviside et distribution de Dirac. La première décrit un état maintenu : elle vaut 0 avant le seuil et 1 après. La seconde représente une impulsion concentrée au seuil. Dans l'exemple du signal, H(t − 2) reste active après 2 s, tandis que la distribution de Dirac intervient comme sa dérivée au sens des distributions.

Au point de bascule. La valeur H(0) n'est pas fixée de la même manière dans tous les contextes. Elle peut valoir 1, 1/2 ou 0. Il faut annoncer la convention avant de calculer une valeur exactement au seuil ; hors de ce point, ces conventions coïncident.

Dérivée au seuil. La fonction est constante de chaque côté de 0, mais elle y est discontinue. Elle n'admet donc pas de dérivée ordinaire en 0. L'égalité H′ = δ doit être lue au sens des distributions.

Transformée de Laplace. Si la variable complexe de Laplace est notée s, la formule $\mathcal{L}\{H\}(s)=\frac{1}{s}\backslash mathcal\{L\}\backslash \{H\backslash \}(s)=\backslash frac\{1\}\{s\}$ vaut dans le demi-plan où la partie réelle de s est strictement positive. Écrire seulement 1/s sans ce domaine masque la condition de convergence.

Modèle instantané. Un basculement réel peut prendre un temps non nul. Si les mesures montrent une transition progressive, il faut modéliser sa durée au lieu d'imposer un saut idéal.

La fiche Échelon-unité (fonction) approfondit l'autre nom courant de cette fonction et ses conventions au point de saut.

La fiche distribution de Dirac précise le sens de la relation H′ = δ, qui n'est pas une dérivation ordinaire au seuil.

La fiche Transformée de Laplace replace la formule 1/s dans l'outil qui sert à analyser des systèmes dynamiques.

L'article À la base du traitement du signal élargit le contexte dans lequel un échelon représente une activation brusque.