Dans l’Antiquité, les philosophes étaient aussi logiciens et mathématiciens. Ce compagnonnage s’est poursuivi, de façon plus ou moins lâche, jusqu’au début du XXe siècle. Ce n’est qu’avec les « nouveaux philosophes » que le lien entre les deux disciplines s’est vraiment distendu, certains allant jusqu’à affirmer que « dans la vie quotidienne les mathématiques ne servent à rien »…
Dans une première partie intitulée « Remise en cause de la fondation aristotélico-euclidienne des mathématiques », l’ouvrage commence par suivre la construction des mathématiques occidentales, avec l’école de Pythagore et la fameuse « crise des irrationnels ». Il enchaîne avec la théorie de la démonstration d’Aristote, et avec son application à la géométrie par Euclide.
Le développement des mathématiques restera ensuite en sommeil en Europe, jusqu’à ce que les travaux des Grecs soient redécouverts, enrichis de ceux des mathématiciens du monde arabo-musulman. Ils permettront l’émergence d’une nouvelle étape menant à la naissance de l’algèbre (avec Viète) puis à la découverte des nombres complexes. Vient une première « déseuclidation » de la géométrie et de l’arithmétique avec l’invention de la géométrie algébrique, puis celle du calcul différentiel, qui mènera à la fin de la crise des irrationnels grâce à Cantor et Dedekind. L’auteur décrit ensuite une seconde « déseuclidation », avec la découverte des géométries non euclidiennes et la tentative de réunification des mathématiques dans l’algèbre structurelle.
