Théorème de Bayes : test, sensibilité et spécificité expliqués

La maladie du chat fou touche 10 % des chats domestiques. Heureusement, un test a été mis au point très rapidement par les laboratoires Labocat et est proposé systématiquement par les vétérinaires.

On appelle sensibilité d’un test le pourcentage de résultats positifs lorsque le test est appliqué à une population qui devrait être positive à 100 %.

Par exemple, le test Labocat possède une sensibilité de 95 %. Ainsi, appliqué à 100 chats malades, le test n’en détectera que 95. Les 5 autres chats malades dont le test sortira négatif sont appelés des faux négatifs.

On appelle spécificité d’un test le pourcentage de résultats négatifs lorsque le test est appliqué à une population qui devrait être négative à 100 %.

Le test de Labocat possédant également une spécificité égale à 95 %, sur 100 chats indemnes de la maladie, il en détectera 95 comme indemnes, les 5 autres étant des faux positifs.

Vous venez de faire tester votre chat et le résultat du test est négatif. Vous cherchez alors la probabilité qu’il soit néanmoins atteint de la maladie.

Le théorème de Bayes, dû au mathématicien britannique Thomas Bayes (1702-1761), permet de calculer cette probabilité.

Désignons par A le fait d’être atteint par la maladie et par B le fait d’avoir un résultat négatif. A/B désigne le fait d’être quand même malade alors même que le test est négatif.

La formule de Bayes énonce que p(A/B) = p(B/A) × p(A)/p(B).

p(A) est la probabilité d’être atteint de la maladie du chat fou (qui touche, rappelons-le, 10 % de la population) donc p(A) = 0,1.

p(B/A) est la probabilité d’avoir un test négatif quand on est malade, c’est-à-dire un faux négatif. La sensibilité du test étant de 95 %, p(B/A) = 0,05.

Les résultats négatifs sont de deux sortes : les faux négatifs (les tests négatifs chez les chats malades) et les vrais négatifs (les tests négatifs chez les chats sains).

La population se composant de 10 % de chats malades et de 90 % de chats sains, p(B) = 0,05 × 0,1 + 0,95 × 0,9.

L’application de la formule de Bayes donne donc :

p(A/B) = 0,05 × 0,1/(0,05 × 0,1 + 0,95 × 0,9) = 0,005/0,86 = 1/172 ≈ 0,58 %.

Sur 1000 chats testés, on aurait effectivement 95 % des 900 chats indemnes, soit 855 chats ayant un test négatif, et 5 % des 100 chats malades, soit 5 chats, ayant également un test négatif. Si votre chat était malade, il serait un de ces 5 chats testés négativement sur le total de 860 tests négatifs, d’où cette probabilité inférieure à 1 %.

Un laboratoire concurrent propose ChatControl, un test ayant une sensibilité de 98 % et une spécificité de 96 %.