Écrire 2018 en utilisant la suite des entiers
Vous connaissez peut-être le défi de Takeshi Kitano : trouver une n-solution de 2018, c’est-à-dire une expression de 2018 où interviennent des parenthèses et, successivement, dans l’ordre, les entiers de 1 à n, séparés par un au moins des symboles opératoires +, –, x, /, ^, !, avec le plus petit n possible.
Alain Zalmanski propose 2018 = (1 × 2) –(3 !) ! + 4 ! × (5 ! – 6).
On ne peut, apparemment, faire mieux que 6, mais on peut imaginer d’autres variantes !
- Par exemple, en s’autorisant de changer l’ordre des nombres utilisés. Pierre Crespin et Louis Thépault descendent alors à 5 avec 2018 = (((3 + 4)!/5) + 1) × 2.
- Raphaël Douady se pose, lui, la question d’écrire 2018 à l’aide d’une suite des premiers nombres premiers consécutifs utilisés chacun une seule fois (dans le désordre). Il propose les premiers jusqu’à 17 avec 2018 = 3^7 – 13((17 – 11)/(5 – 2)).
Mais François Lavallou trouve, avec 13, 2018 = 2 × (7 ! + 3 + 13 – 11)/5.
- Alain Zalmanski propose de retrouver 2018 en se permettant la concaténation de chiffres successifs. Il trouve deux résultats : 2018 =1 × 2345 – 6 × 7 × 8 + 9 et 2018 =12 × 34 × 5 + 67 – 89.
- Enfin, on peut chercher à atteindre 2018 avec les premiers entiers dans l’ordre en s’autorisant d’autres symboles opératoires : √ (racine carrée) et [ ] (partie entière). Keridwen Codet trouve un très joli résultat avec les entiers de 1 à 5 : 2018 = .
Marie-Nicole Gras propose 2018 = ((1 + 2) !) ! + (3 !)^4 + [√5].
Quant à Vincent Lefèvre, il montre qu’on peut y arriver avec ces fonctions en se contentant de 1 et 2 ! Mais c’est trop long pour le détailler ici.
Somme magique en 3D
Dominique Souder, très inventif, crée un cube magique de 3 × 3 × 3 cellules où le total de chaque tranche horizontale ou verticale est 2018, possédant en plus de multiples autres propriétés toutes liées à 2018. Il crée également un cube de 4 × 4 × 4 nombres avec des alignements magiques et beaucoup de sommes égales à 2018. Assez fantastique !
Décomposer 2018 en somme de nombres premier
Mireille Schumacher se demande, elle, faisant référence à la conjecture de Goldbach, combien il existe de façons de décomposer 2018 en somme de deux nombres premiers.
Elle en trouve vingt-huit : 1009 + 1009, 1021 + 997, 1051 + 967, 1231 + 787, 1249 + 769, 1279 + 739, 1291 + 727, 1327 + 691, 1399 + 619, 1447 + 571, 1471 + 547, 1531 + 487, 1579 + 439, 1597 + 421, 1609 + 409, 1621 + 397, 1669 + 349, 1741 + 277 , 1747 + 271, 1777 + 241, 1789 + 229, 1861 + 157, 1867 + 151, 1879 + 139, 1951 + 67 , 1987 + 31, 1999 + 19, 2011 + 7.
Elle précise même, avec Martin Matmüller, directeur des Archives Euler à Bâle, que, s’il n’y a pas de théorème permettant de calculer ce nombre de décompositions, la formule asymptotique de Hardy et Littlewood (1923) donne un ordre de grandeur de ce nombre, soit
ce qui, pour 2018, donne environ 54.
Il faudra attendre quelques millénaires avant que la formule devienne pertinente !
M. Matmüller termine en donnant de 2018 une représentation unique sous forme de somme de deux carrés : 2018 = 432 + 132.
