Prenez huit morceaux de sucre et assemblez-les en un gros cube de deux sur deux sur deux. Retirez-en un, dans un coin. Il vous reste sept cubes qui forment une sorte de fauteuil trapu, avec une assise, un dossier et un accoudoir. Cette silhouette banale est au cœur d'une revendication mathématique. Une variante soigneusement décorée de cette « chaise » pourrait remplir l'espace tout entier, sans trou ni chevauchement, et sans qu'aucun motif ne se répète jamais.
L'auteur de cette affirmation n'enseigne dans aucun département de géométrie. Ioannis Tsiokos est développeur logiciel, et il dit avoir trouvé sa forme avec l'aide d'une intelligence artificielle. Phys.org a relayé sa découverte : ce serait la première forme de ce genre en trois dimensions. Pour mesurer ce que vaut ce « premier », il faut d'abord comprendre ce qu'on cherchait.
Un seul carreau, et jamais deux fois le même paysage
Paver, c'est recouvrir une surface ou un volume avec des copies d'une même pièce, sans laisser de vide et sans superposition. Le carrelage de votre salle de bains le fait de manière périodique : décalez tout le carrelage d'un carreau vers la droite, et il se superpose exactement à lui-même. Ce décalage qui ne change rien s'appelle une période.
Un pavage apériodique est un pavage qui n'a aucune période. Vous pouvez faire glisser le dessin dans n'importe quelle direction, il ne retombera jamais sur lui-même. Dans les années 1970, Roger Penrose a montré qu'on pouvait l'imposer avec seulement deux formes de tuiles. Ces tuiles peuvent paver tout le plan, mais uniquement sans répétition. Il restait une question têtue : une seule tuile suffirait-elle ?
