Conjectures d'hier, progrès d'aujourd'hui en maths | Tangente

Nous venons à peine de parler d'Erdös qu'il apparaît à nouveau. A peu près vingt ans après sa mort, voici qu'il continue de publier ! Il le fait par l'intermédiaire des conjectures qu'il a émises et laissées derrière lui, et bien sûr aussi de ses amis et disciples qui en trouvent (parfois) des démonstrations. L'un de ces problèmes posés, comme toujours simple d'énoncé mais casse-tête à résoudre, concernait les fractions égyptiennes : « Tout entier peut-il s'écrire comme somme de fractions égyptiennes (fractions de numérateur 1) dont les dénominateurs sont les produits de deux nombres premiers distincts ? ». Avec son collègue et ami Ronald Graham de l'Université de San Diego en Californie, ils étaient si sûrs de leurs résultats qu'ils en ont annoncé une preuve dans le livre de Richard Guy Unsolved problems in number theory publié en 1981. Et pourtant, il a fallu attendre décembre 2015 pour voir une démonstration de ce résultat, pour trois nombres premiers distincts, que viennent de soumettre en prépublication Graham et Steve Butler de l'Université de l'Iowa, un étudiant de l'épouse de Graham, dans un papier qu'ils ont co-signé… avec Erdös, juste de quoi augmenter leur nombre d'Erdös d'une unité. Butler a cherché des décompositions sur ordinateur et les calculs de Graham ont permis de dépasser les limites de la machine. Sûrs de pouvoir faire mieux, les deux auteurs annoncent déjà qu'ils sont persuadés qu'on peut écrire tout entier comme somme de fractions égyptiennes de dénominateur produit de w nombres premiers distincts. En tout cas, pour w = 2, ils ont déjà réussi à écrire 1 comme somme de 48 fractions unitaires de dénominateur produit de deux nombres premiers distincts.

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